集合 $A$ 是集合 $M=\{1,2,3,\cdots,2012\}$ 的 $20$ 元子集，且 $A$ 中的任两个元素之差为 $12$ 的倍数，则这种子集 $A$ 的个数是 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$8\mathrm{C}_{168}^{20}+4\mathrm{C}_{167}^{20}$
【解析】
对于 $x,y\in M$，若 $12\mid(x-y)$，则称 $x,y$ 是同类的．
情形一 当 $n\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 时，$n$ 的同类数有 $168$ 个，对于其中每个 $n$，$168$ 元集合$$T_n=\{x\mid x=n+12k,k=0,1,2,\cdots,167\},$$的任一个 $20$ 元子集皆满足条件，共得 $8\mathrm{C}_{168}^{20}$ 个子集．
情形二 当 $n\in\{9,10,11,12\}$ 时，$n$ 的同类数有 $167$ 个，对于其中每个 $n$，$167$ 元集合$$T_n=\{x\mid x=n+12k,k=0,1,2,\cdots,166\}$$的任一个 $20$ 元子集也满足条件，共得 $4\mathrm{C}^{20}_{167}$ 个子集．
因此所求集合个数为 $ 8\mathrm{C}_{168}^{20}+4\mathrm{C}^{20}_{167}$．
因此所求集合个数为 $ 8\mathrm{C}_{168}^{20}+4\mathrm{C}^{20}_{167}$．
题目
答案
解析
备注
