从 $1,2,\cdots,2012$ 中选出 $n$ 个数，使得其中任意两个数的差都不能整除这两个数的和，则 $n$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2012年北京大学等十三校联考自主招生
【标注】
【答案】
$671$
【解析】
取 $1 , 4 , 7 , \cdots , 2011$，共 $671$ 个数，则任意两数之和均模 $3$ 余 $2$，任意两数之差均模 $3$ 余 $0$，符合题意．
下面证明不存在 $672$ 个数的取法．
将 $\left\{ {1 , 2 , \cdots , 2012} \right\}$ 分成 $671$ 个集合$$\left\{ {1 , 2 , 3} \right\},\left\{ {4 , 5 , 6} \right\},\cdots ,\left\{ {2011 , 2012} \right\},$$如果可取 $672$ 个数，那么必然有两个数同属某一集合，此时这两数之差为 $1$ 或 $2$．
若两数之差为 $1$，那么显然不符合要求．
若两数之差为 $2$，那么这两数同为奇数或同为偶数，它们的和为偶数，亦不符合要求．
因此不存在 $672$ 个数的取法，于是最多能取 $671$ 个数．
下面证明不存在 $672$ 个数的取法．
将 $\left\{ {1 , 2 , \cdots , 2012} \right\}$ 分成 $671$ 个集合$$\left\{ {1 , 2 , 3} \right\},\left\{ {4 , 5 , 6} \right\},\cdots ,\left\{ {2011 , 2012} \right\},$$如果可取 $672$ 个数，那么必然有两个数同属某一集合，此时这两数之差为 $1$ 或 $2$．
若两数之差为 $1$，那么显然不符合要求．
若两数之差为 $2$，那么这两数同为奇数或同为偶数，它们的和为偶数，亦不符合要求．
因此不存在 $672$ 个数的取法，于是最多能取 $671$ 个数．
题目
答案
解析
备注
