用 $S(A)$ 表示集合 $A$ 的所有元素之和，且 $A\subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$S(A)$ 能被 $3$ 整除，但不能被 $5$ 整除，则符合条件的非空集合 $A$ 的个数是 ．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$70$
【解析】
将集合 $A$ 划分为$$A_1=\{1,4,7\},A_2=\{2,5,8\},A_3=\{3,6\},$$于是使得 $S(A)$ 能被 $3$ 整除的非空集合 $A$ 的个数有$$\left[({\rm C}_3^0+{\rm C}_3^3)^2+({\rm C}_3^1)^2+({\rm C}_3^2)^2\right]\cdot 2^2-1=87.$$接下来考虑 $S(A)$ 能被 $15$ 整除的非空集合 $A$ 的个数，此时 $S(A)=15$ 或 $S(A)=30$．
情形一 $S(A)=15$．此时按最大元素分别为 $8,7,6,5$ 分类，分别有 $5,4,3,1$ 个，共计 $13$ 个．
情形二 $S(A)=30$．此时只需要考虑 $S(A)=6$ 的情形，共有 $4$ 个．
综上所述，符合条件的非空集合 $A$ 的个数为 $87-13-4=70$．
综上所述，符合条件的非空集合 $A$ 的个数为 $87-13-4=70$．
题目
答案
解析
备注
