若集合 $B$ 是集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$ 的 $12$ 元子集，且存在 $a,b\in B$，$b<a$，$b\mid a$，则称 $B$ 为"和谐集"．求最大的 $m\in A$，使包含 $m$ 的集合 $A$ 的有 $12$ 个元素的任意子集为"和谐集"．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最大的 $m=7$
【解析】
从非"和谐集"$$\{12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23\}$$出发可得符合条件的 $m\leqslant 11$．将其调整，$22\to 11$，$20\to 10$，$18\to 9$，$16\to 8$，这样就得到了符合条件的 $m\leqslant 7$．接下来证明 $m=7$ 符合题意．将集合 $A$ 除 $7$ 以外的元素划分为\begin{eqnarray*}\begin{split} A_1&=\{23,19,15,17,13\},\\
A_2&=\{22,11\},\\
A_3&=\{20,10,5\},\\
A_4&=\{18,9,3\},\\
A_5&=\{16,8,4,2\}\\
A_6&=\{12,6\}\\
A_7&=\{14,1\},\end{split} \end{eqnarray*}则集合 $A$ 的 $12$ 元子集或者包含 $A_7$ 中的元素，或者包含集合 $A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ 中的某个集合中有 $2$ 个或 $2$ 以上的元素，无论何种情形，该 $12$ 元子集均为和谐集．
A_2&=\{22,11\},\\
A_3&=\{20,10,5\},\\
A_4&=\{18,9,3\},\\
A_5&=\{16,8,4,2\}\\
A_6&=\{12,6\}\\
A_7&=\{14,1\},\end{split} \end{eqnarray*}则集合 $A$ 的 $12$ 元子集或者包含 $A_7$ 中的元素，或者包含集合 $A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ 中的某个集合中有 $2$ 个或 $2$ 以上的元素，无论何种情形，该 $12$ 元子集均为和谐集．
答案
解析
备注
