题目 设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，若存在 $x^{*}\in(0,1)$ 使得 $f(x)$ 在 $[0,x^{*}]$ 上单调递增，在 $[x^{*},1]$ 上单调递减，则称 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单峰函数，$x^{*}$ 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的 $[0,1]$ 上的单峰函数 $f(x)$，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． 问题1 证明：对任意的 $x_{1},x_{2}\in(0,1)$，$x_{1}<x_{2}$，若 $f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$，则 $(0,x_{2})$ 为含峰区间；若 $f(x_{1})\leqslant f(x_{2})$，则 $(x_{1},1)$ 为含峰区间； 答案1 略 解析1 根据定义，若某区间不含峰，那么该区间为单调区间，于是用反证法易证． 备注1 问题2 对给定的 $r(0<r<0.5)$，证明：存在 $x_{1},x_{2}\in(0,1)$ 满足 $x_{2}-x_{1}\geqslant 2r$，使得由 $(1)$ 所确定的含峰区间的长度不大于 $r+0.5$； 答案2 略 解析2 用反证法．<br/>若不存在由 $(1)$ 所确定的含峰区间的长度不大于 $r+0.5$，则对于任意 $x_{1},x_{2}\in (0,1)$，$x_{2}>r+0.5$ 且 $1-x_{1}>r+0.5$，有\[x_{2}+(1-x_{1})>2r+1.\]取 $x_{2}-x_{1}=2r$，则$$x_{2}+(1-x_{1})=1+2r,$$矛盾．于是原命题得证． 备注2 问题3 选取 $x_{1},x_{2}\in(0,1)$，$x_{1}<x_{2}$，由 $(1)$ 可确定含峰区间为 $(0,x_{2})$ 或 $(x_{1},1)$，在所得的含峰区间内选取 $x_{3}$，由 $x_{3}$ 与 $x_{1}$ 或 $x_{3}$ 与 $x_{2}$ 类似地可取定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为 $(0,x_{2})$ 的情况下，试确定 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 的值，满足两两之差的绝对值不小于 $0,02$，且使得新的含峰区间的长度缩短到 $0.34$．（区间长度等于区间的右端点与左端点之差） 答案3 $x_{1}=0.34$，$x_{2}=0.66$，$x_{3}=0.32$ 或 $x_{1}=0.32$，$x_{2}=0.66$，$x_{3}=0.34$ 解析3 <case>情形一</case>若 $x_{3}<x_{1}$，则$$x_{2}-x_{3}=x_{1}=0.34;$$<case>情形二</case>若 $x_{3}>x_{1}$，则$$x_{2}-x_{1}=x_{3}=0.34.$$所以可取$$x_{1}=0.34 , x_{2}=0.66 , x_{3}=0.32$$或$$x_{1}=0.32 , x_{2}=0.66 , x_{3}=0.34.$$ 备注3