题目 设 $A,B$ 是两个集合，称 $(A,B)$ 为一个“对子”．当 $A\ne B$ 时，将 $(A,B)$ 与 $(B,A)$ 视为不同的“对子”．满足条件 $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ 的不同的对子 $(A,B)$ 的个数为<nn> </nn>． 答案 $81$ 解析 如图，将集合 $A\cup B$ 分划为 $A\backslash B$，$A\cap B$，$B\backslash A$，然后分别放入 $1,2,3,4$ 这四个元素，共有 $3^4=81$ 种方法，每种方法对应一个对子 $(A,B$）．<img src="http://bison.img.eduzhixin.com/math-img/05147799a57e0122640fefd51e205611.png" class="img-responsive" /> 备注 一般的，若 ${\rm Card}A\cup B=n$，将这些对子按集合 $A$ 中的元素个数分类，可以得到\[\sum_{k=0}^{n}2^k{\rm C}_4^k=3^n.\]