题目 已知集合 $P$ 是由不超过 $2012$ 的正整数组成的集合，即 $P=\{1,2,3,\cdots,2012\}$．集合 $A$ 是集合 $P$ 的子集，符号 $|A|$ 表示集合 $A$ 中元素的个数，$S(A)$ 表示集合 $A$ 中所有元素的和． 问题1 若集合 $A$ 中任意两个数的差都不是 $101$ 的倍数，求 $|A|$ 的最大值； 答案1 $101$ 解析1 构造下列 $101$ 个集合：$$A_i=\{x\mid x\equiv i\pmod {101},x\in P\}i=0,1,2,\cdots,100.$$易知，$A_i$ 都是 $P$ 的子集，$A_i$ 中任意两个数的差都是 $101$ 的倍数．<br/>若 $|A|\geqslant102$，则由抽屉原则，集合 $A$ 包含上述 $101$ 个集合中的某个集合内的两个数，这两个数的差为 $101$ 的倍数，不符合要求．因此$$|A|\leqslant101.$$从上述 $101$ 个集合中各取一个元素构成的集合，如集合$$A=\{1,2,3,\cdots,101\}$$显然符合要求，且 $|A|=101$．因此 $|A|$ 的最大值为 $101$． 备注1 问题2 若集合 $A$ 中任意两个数的差都不是 $101$ 的倍数，且任意两个数的和也不是 $101$ 的倍数，求 $|A|$ 的最大值； 答案2 $51$ 解析2 构造下列 $51$ 个集合：\[ A_i=\{x\mid x\equiv \pm i\pmod{101},x\in P\},i=0,1,2,\cdots,50,\]易知，$A_i$ 都是 $P$ 的子集，$A_i$ 中任意两个数的差或者和是 $101$ 的倍数．<br/>若 $|A|\geqslant52$，则由抽屉原理，集合 $A$ 包含上述 $51$ 个集合中的某个集合内的两个数，这两个数的差或者和为 $101$ 的倍数，不符合要求．因此$$|A|\leqslant51.$$又从上述 $51$ 个集合中各取一个元素构成的集合，如集合$$A=\{1,2,3,\cdots,50,101\} $$显然符合要求，且 $|A|=51$．因此 $|A|$ 的最大值为 $51$． 备注2 问题3 若集合 $A$ 中任意两个数的差都不是 $101$ 的倍数，且任意两个数的和也不是 $101$ 的倍数，同时 $S(A)=2012$，求 $|A|$ 的最大值． 答案3 $51$ 解析3 由于\[S(A)\equiv 93 \pmod{101},\]而\[1+2+3+4+\cdots+50=1275\equiv 63\pmod{101},\]于是考虑将\[A=\{1,2,3,\cdots,50,101\}\]中的 $36$ 替换为 $101-36=65$，将 $50$ 替换为 $101-50=51$，就得到了\[A'=\{1,2,3,\cdots,35,65,37,38,\cdots,49,51,101\},\]且\[S(A')\equiv 93 \pmod{101},\]此时再添加 $6$ 个 $101$，如\[A''=\{1,2,3,\cdots,35,65,37,38,\cdots,49,51,7\cdot 101\},\]就完成了构造．因此所求的最大值为 $51$． 备注3