对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$29$
【解析】
不妨设 $12\in A$．
由于当集合 $A$ 确定后，集合 $B$ 便唯一确定，故只须考虑集合 $A$ 的个数．
设 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{6}\}$，$a_{6}$ 为最大数，由\[1+2+\cdots+12=78,\]知\[a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{6}=39, a_{6}=12,\]于是\[a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=27,\]故 $A_{1}=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\}$ 中有奇数个奇数．
情形一 若 $A_{1}$ 中有 $5$ 个奇数，因 $M$ 中的六个奇数之和为 $36$，而 $27=36-9$，则$$A_{1}=\{1,3,5,7,11\},$$这时得到唯一的 $A=\{1,2,5,7,11,12\}$．
情形二 若 $A_{1}$ 中有 $3$ 个奇数，$2$ 个偶数，用 $p$ 表示 $A_{1}$ 中这 $2$ 个偶数 $x_{1},x_{2}$ 之和，$q$ 表示 $A_{1}$ 中这个 $3$ 个奇数 $y_{1},y_{2},y_{3}$ 之和，则 $p\geqslant 6,q\geqslant 9$，于是 $q\leqslant 21,p\leqslant 18$，共得 $A_{1}$ 的如下 $24$ 种情形．
① 当 $p=6,q=21$，则 $(x_{1},x_{2})=(2,4)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取$$(1,9,11),(3,7,9),(5,7,9),$$因此可搭配成 $A_{1}$ 的 $3$ 种情形；
② 当 $p=8,q=19$，则 $(x_{1},x_{2})=(2,6)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取$$(1,7,11),(3,5,11),(3,7,9),$$因此可搭配成 $A_{1}$ 的 $3$ 种情形；
③ 当 $p=10,q=17$，则 $x_{1},x_{2}$ 可以取 $(2,8),(4,6)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取$$(1,5,11),(1,7,9),(3,5,9),$$因此可搭配成 $A_{1}$ 的 $6$ 种情形；
④ 当 $p=12,q=15$，则 $(x_{1},x_{2})$ 可以取 $(2,10),(4,8)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取$$(1,3,11),(1,5,9),(3,5,7),$$因此可以搭配成 $A_{1}$ 的 $6$ 种情形；
⑤ 当 $p=14,q=13$，则 $(x_{1},x_{2})$ 可以取 $(4,10),(6,8)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取 $(1,3,9),(1,5,7)$，因此可以搭配成 $A_{1}$ 的 $4$ 种情形；
⑥ 当 $p=16,q=15$，则 $(x_{1},x_{2})$ 可以取 $(6,10)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取 $(1,3,7)$，因此可以搭配成 $A_{1}$ 的 $1$ 种情形；
⑦ 当 $p=18,q=9$，则 $(x_{1},x_{2})$ 可以取 $(8,10)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取 $(1,3,5)$，因此可以搭配成 $A_{1}$ 的 $1$ 种情形．
情形三 若 $A_{1}$ 中有 $1$ 个奇数，$4$ 个偶数．
由于 $M$ 中除 $12$ 外，其余的五个偶数和$$2+4+6+8+10=30,$$从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使 $A_{1}$ 中五数之和为 $27$，分别得到 $A_{1}$ 的 $4$ 种情形：$$\{7,2,4,6,8\},\{5,2,4,6,10\},\{3,2,4,8,10\},\{1,2,6,8,10\}.$$综合以上三种情况，可知集合 $A$ 有 $1+24+4=29$ 种情形，即 $M$ 有 $29$ 种“等和划分”．
由于当集合 $A$ 确定后，集合 $B$ 便唯一确定，故只须考虑集合 $A$ 的个数．
设 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{6}\}$，$a_{6}$ 为最大数，由\[1+2+\cdots+12=78,\]知\[a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{6}=39, a_{6}=12,\]于是\[a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=27,\]故 $A_{1}=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\}$ 中有奇数个奇数．
① 当 $p=6,q=21$，则 $(x_{1},x_{2})=(2,4)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取$$(1,9,11),(3,7,9),(5,7,9),$$因此可搭配成 $A_{1}$ 的 $3$ 种情形；
② 当 $p=8,q=19$，则 $(x_{1},x_{2})=(2,6)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取$$(1,7,11),(3,5,11),(3,7,9),$$因此可搭配成 $A_{1}$ 的 $3$ 种情形；
③ 当 $p=10,q=17$，则 $x_{1},x_{2}$ 可以取 $(2,8),(4,6)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取$$(1,5,11),(1,7,9),(3,5,9),$$因此可搭配成 $A_{1}$ 的 $6$ 种情形；
④ 当 $p=12,q=15$，则 $(x_{1},x_{2})$ 可以取 $(2,10),(4,8)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取$$(1,3,11),(1,5,9),(3,5,7),$$因此可以搭配成 $A_{1}$ 的 $6$ 种情形；
⑤ 当 $p=14,q=13$，则 $(x_{1},x_{2})$ 可以取 $(4,10),(6,8)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取 $(1,3,9),(1,5,7)$，因此可以搭配成 $A_{1}$ 的 $4$ 种情形；
⑥ 当 $p=16,q=15$，则 $(x_{1},x_{2})$ 可以取 $(6,10)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取 $(1,3,7)$，因此可以搭配成 $A_{1}$ 的 $1$ 种情形；
⑦ 当 $p=18,q=9$，则 $(x_{1},x_{2})$ 可以取 $(8,10)$，$(y_{1},y_{2},y_{3})$ 可以取 $(1,3,5)$，因此可以搭配成 $A_{1}$ 的 $1$ 种情形．
由于 $M$ 中除 $12$ 外，其余的五个偶数和$$2+4+6+8+10=30,$$从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使 $A_{1}$ 中五数之和为 $27$，分别得到 $A_{1}$ 的 $4$ 种情形：$$\{7,2,4,6,8\},\{5,2,4,6,10\},\{3,2,4,8,10\},\{1,2,6,8,10\}.$$综合以上三种情况，可知集合 $A$ 有 $1+24+4=29$ 种情形，即 $M$ 有 $29$ 种“等和划分”．
答案
解析
备注
