若存在集合 $A$，$B$ 满足：$A\cap B=\varnothing $，且 $A\cup B=\mathbb N^*$，则称 $(A,B)$ 为 $\mathbb N^*$ 的一个二分划．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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设 $A=\{x\mid x=3k,k \in \mathbb N^* \} $，$B=\{x\mid x=3k \pm 1,k \in \mathbb N^*\} $，判断 $(A,B)$ 是否为 $\mathbb N^*$ 的一个二分划，说明理由；标注答案不是解析因为$$1\not \in A , 1\not \in B,$$所以$$A\cup B \neq \mathbb N^*,$$故 $(A,B)$ 不是 $\mathbb N^*$ 的一个二分划．
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是否能找到 $\mathbb N^*$ 的一个二分划 $(A,B)$ 满足：
① $A$ 中不存在三个成等比数列的数；
② $B$ 中不存在无穷的等比数列．
说明理由．标注答案能找到，理由略解析能找到．
$\mathbb N^*$ 中形成的等比数列可以唯一地用一个正整数数对 $(a,q)$ 来表示，其中 $a$ 为数列的首项，$q$ 为数列的公比；反之每一对 $(a,q)$ 也唯一地表示一个无穷的等比数列．
正整数数对 $(a,q)$ 可以排序如下：$(1,2)$，$(1,3)$，$(2,2)$，$(1,4)$，$(2,3)$，$(3,2)$，$\cdots$．将这些数对所对应的无穷等比数列依次记为 $s_1$，$s_2$，$\cdots$，$s_k$，$\cdots$．
先在 $s_1$ 中任取一个数 $a_1$，在 $s_2$ 中取数 $a_2$，使得 $a_2>a_1$；
在 $s_3$ 中取数 $a_3$，使得 $a_3 >\dfrac {a_2^2}{a_1}$；
在 $s_4$ 中取数 $a_4$，使得 $a_4>\dfrac {a_3^2}{a_1}$；
$\cdots$；
一般的，在 $s_k$ 中取数 $a_k$，使得 $a_k>\dfrac {a_{k-1}^2}{a_1}$；
$\cdots $．
如此得到正整数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_k$，$\cdots$，由这些数组成集合 $A$，并令 $B=\complement_{\mathbb N^*} A$，可证明上述构造的 $A$ 和 $B$ 满足题设 ① 和 ②．
首先 $\mathbb N^*$ 中每一个无穷等比数列中至少有一项在 $A$ 中，所以 $B$ 中不存在无穷等比数列．
再证 $A$ 中不存在三数成等比数列．任取 $a_m,a_n ,a_r \in A$，不妨设 $m<n<r$，则 $a_m<a_n<a_r$，但由 $A$ 的取法知$$a_r>\dfrac {a_{r-1}^2}{a_1}\geqslant \dfrac {a_n^2}{a_1}\geqslant \dfrac {a_n^2}{a_m},$$故$$a_ra_m>a_n^2$$即 $a_m$，$a_n$，$a_r$ 不成等比数列，所以 $A$ 中不存在三个成等比数列的数．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
