已知 $n$ 是正整数且 $n\geqslant 3$，非空集合 $A,B$ 满足 $A\cup B=\{x\mid 1\leqslant x\leqslant n,x\in\mathbb N^{\ast}\}$，$A\cap B=\varnothing$．若 $A$ 中元素的个数不是 $A$ 中的元素，$B$ 中元素的个数不是 $B$ 中的元素，则满足条件的所有不同的集合 $A$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\begin{cases} 2^{n-2}-{\rm C}_{n-2}^{\frac n2},&2\mid n,\\
2^{n-2},&2\nmid n.\end{cases}$
2^{n-2},&2\nmid n.\end{cases}$
【解析】
若 $A$ 中有 $m$ 个元素，那么 $B$ 中有 $n-m$ 个元素，于是 $m\in B$ 且 $n-m\in A$；在剩下的 $n-2$ 个数中取出 $m-1$ 个放入 $A$ 中，剩下的放入 $B$ 中即可．
情形一 $n$ 是偶数．此时所求个数为\[\sum_{m=1}^{n-1}{\rm C}_{n-2}^{m-1}-{\rm C}_{n-2}^{\frac n2}=2^{n-2}-{\rm C}_{n-2}^{\frac n2}.\]情形二 $n$ 是奇数．此时所求个数为\[\sum_{m=1}^{n-1}{\rm C}_{n-2}^{m-1}=2^{n-2}.\]
题目
答案
解析
备注
