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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27575 59084c26060a05000bf29210 高中 解答题 高中习题 证明：如果 $p$ 为素数，则 $p^2\mid \left({\mathrm C}_{2p}^p-2\right)$． 2022-04-17 21:31:05
27437 59098e6b38b6b40008d7bb6b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的奇函数，$f(1)=1$，且对任意 $x<0$，均有 $f\left(\dfrac x{x-1}\right)=xf(x)$．求\[f(1)f \left(\dfrac 1{100} \right )+f \left(\dfrac12 \right)f \left(\dfrac 1{99} \right)+f \left(\dfrac 13 \right )f \left(\dfrac 1{98} \right )+\cdots+f \left(\dfrac 1{50} \right)f \left(\dfrac 1{51} \right)\]的值． 2022-04-17 21:14:04
27311 590ae4996cddca000a081ab6 高中 解答题 自招竞赛 集合 $M=\left \{1,2, \cdots ,99 \right\}$，集合 $A$ 是集合 $M$ 的子集，$A$ 中的元素个数为偶数，且 $A$ 中元素之和为奇数，求符合要求的集合 $A$ 的个数． 2022-04-17 21:01:03
27295 590bd3416cddca00078f3a6e 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 1$，${x_i} > 0$，$i = 1,2, \cdots ,n$，求证：\[\left( {\sqrt 2 + {x_1}} \right)\left( {\sqrt 2 + {x_2}} \right) \cdots \left( {\sqrt 2 + {x_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}.\] 2022-04-17 21:54:02
27218 590c1662d42ca700093fc601 高中 解答题 高中习题 已知 $n>m\geqslant 0$，$n,m\in\mathbb N$，求证：$\displaystyle \sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i(i+1)^m=0$． 2022-04-17 21:13:02
27191 590c279f857b42000aca3810 高中 解答题 高中习题 已知 $\left(2x+\dfrac{1}{x^2}+a\right)^6$ 的展开式中常数项为 $1$，求 $a$ 的值． 2022-04-17 21:58:01
27170 590fc28b857b4200092b071a 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\forall n \in {\mathbb N^ * }$，${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}$ 都能写成 $\sqrt m + \sqrt {m - 1} $（$m \in {\mathbb N^ * }$）的形式．（例如 ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} = \sqrt 9 + \sqrt 8 $）． 2022-04-17 21:45:01
27073 5957993ad3b4f9000ad5e9b5 高中 解答题 高中习题 $4$ 个相同的排球，$5$ 个相同的篮球装入 $3$ 个不同的箱子，每箱至少有 $1$ 个球，求不同的装法总数． 2022-04-17 21:51:00
26969 59126771e020e700094b0a89 高中 解答题 自招竞赛 化简： 2022-04-17 20:53:59
26753 5912ab1fe020e700094b0cd2 高中 解答题 自招竞赛 求证：${\left( {{\mathrm{C}}_n^0} \right)^2} + {\left( {{\mathrm{C}}_n^1} \right)^2} + {\left( {{\mathrm{C}}_n^2} \right)^2} + \cdots + {\left( {{\mathrm{C}}_n^n} \right)^2} = {\mathrm{C}}_{2n}^n$． 2022-04-17 20:53:57
26711 5912bb6ae020e700094b0d6a 高中 解答题 自招竞赛 现有由数字 $1,2 , 3, 4 , 5$ 排列而成的一个五位数组（没有重复数字）．规定：前 $i$ 个数不允许是 $1, 2, \cdots , i$ 的一个排列 $\left( {1 \leqslant i \leqslant 4} \right)$（如 $32154$ 就不可以，因为前三个数是 $1 , 2 ,3$ 的一个排列）．试求满足这种条件的数组共有多少个？ 2022-04-17 20:29:57
26655 5975a46c6b07450008983652 高中 解答题 高中习题 已知一个口袋中有 $m$ 个白球，$n$ 个黑球（$m,n\in \mathbb N^*$，$n\geqslant 2$），这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 $1,2,3,\cdots,m+n$ 的抽屉内，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k$ 的抽屉（$k=1,2,3,\cdots,m+n$）．\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & \cdots & m+n \\
\hline
\end{array}		 2022-04-17 20:00:57
26421 5927d80e50ce8400087afa4a 高中 解答题 高考真题 在数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 和 $\left\{ {b_n}\right\} $ 中，${a_n} = {a^n}$，${b_n} = \left(a + 1\right)n + b$，$n = 1 , 2 , 3 , \cdots $，其中 $a \geqslant 2$ 且 $a \in {{\mathbb{N}}^*}$，$b \in {\mathbb{R}}$． 2022-04-17 20:48:54
26353 592e1a37eab1df0007bb8c8f 高中 解答题 高考真题 对于集合 $M$，定义函数 $f_M(x)=\begin{cases}-1,&x\in M\\ 1,&x\not\in M\end{cases}$，对于两个集合 $M,N$，定义集合 $M\Delta N=\{x\mid f_M(x)\cdot f_N(x)=-1\}$．已知 $A=\{2,4,6,8,10\}$，$B=\{1,2,4,8,16\}$． 2022-04-17 20:10:54
25770 597e8423d05b9000091650a9 高中 解答题 高中习题 是否存在正整数 $m$ 和 $n$，使得 ${\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)^m} = {\left( {3 + 5\sqrt 2 } \right)^n}$． 2022-04-17 20:56:48
25303 591275eee020e7000a798ab7 高中 解答题 高考真题 求 $7{\rm C}_6^3-4{\rm C}_7^4$ 的值； 2022-04-17 20:36:44
25162 596d86f877128b0009c08b9b 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $I=\{1,2,3,\cdots ,n\}$（$n\in\mathbb N^*$），选择 $I$ 的两个非空子集 $A$ 和 $B$，使 $B$ 中最小的数大于 $A$ 中最大的数，记不同的选择方法种数为 $a_n$，显然 $a_1=0$，$a_2={\rm C}_2^2=1$． 2022-04-17 20:19:43
24577 591268b0e020e70007fbebcd 高中 解答题 自招竞赛 证明：不等式 ${\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n} < n! < {\left( {\dfrac{n}{2}} \right)^n}$ 在自然数 $n \geqslant 6$ 的条件下成立． 2022-04-17 20:01:38
24575 59127849e020e70007fbece1 高中 解答题 自招竞赛 求 $\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{50} {\sum\limits_{j = 0}^{50} {\mathrm{C}_{50}^i\mathrm{C}_{50}^j} } $ 除以 $31$ 的余数． 2022-04-17 20:00:38
24126 59ba35d398483e0009c7312a 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 是合数，求证：$2^n-1$ 也是合数． 2022-04-17 20:51:33
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