题目 在数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 和 $\left\{ {b_n}\right\} $ 中，${a_n} = {a^n}$，${b_n} = \left(a + 1\right)n + b$，$n = 1 , 2 , 3 , \cdots $，其中 $a \geqslant 2$ 且 $a \in {{\mathbb{N}}^*}$，$b \in {\mathbb{R}}$． 问题1 若 ${a_1} = {b_1}$，${a_2} < {b_2}$，求数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和； 答案1 ${S_n} = \dfrac{3}{2}{n^2} + \dfrac{1}{2}n$ 解析1 根据等差数列的求和公式，有$${S_n} = \dfrac{n}{2}\left( {{b_1} + {b_n}} \right) = \dfrac{3}{2}{n^2} + \dfrac{1}{2}n.$$ 备注1 问题2 证明：当 $a = 2 , b = \sqrt 2 $ 时，数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 中的任意三项都不能构成等比数列； 答案2 略 解析2 由已知$${b_n} = 3n + \sqrt 2 ,$$设 $b_{r},b_{s},b_{t}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 中的任意三项，且 $r<s<t$，则$$b_{r}<b_{s}<b_{t},$$因此它们构成等比数列等价于$$b_{s}^{2}=b_{r}\cdot b_{t},$$即\[9s^{2}+6\sqrt 2s+2=9rt+3\sqrt 2(r+t)+2,\]也即$$9(s^{2}-rt)=3\sqrt 2(r+t-2s),$$该等式当且仅当 $s^{2}-rt=r+t-2s=0$ 时取等号，即$$s=\sqrt {rt}=\dfrac{r+t}{2}.$$而 $r<t$，所以$$\sqrt {rt}<\dfrac{r+t}{2},$$矛盾，因此原命题得证． 备注2 问题3 设 $A = \left\{ {{a_1} , {a_2} , {a_3} , \cdots } \right\}$，$B = \left\{ {{b_1} , {b_2} , {b_3} , \cdots } \right\}$，试问在区间 $\left[ {1 , a} \right]$ 上是否存在实数 $b$ 使得 $C = A \cap B \ne \varnothing $．若存在，求出 $b$ 的一切可能的取值及相应的集合 $C$；若不存在，试说明理由． 答案3 当 $b=-1$ 时，$C=\left\{a^{2n+1}\mid n\in\mathbb N^{*}\right\}$；当 $b=1$ 时，$C=\left\{a^{2n}\mid n\in\mathbb N^{*}\right\}$ 解析3 设 $a^{m}=(a+1)n+b$，则 $b$ 为 $a^{m}$ 除以 $(a+1)$ 后的余数．<br/>设 $t=a+1$，则 $a=t-1$，于是\[a^{m}=(t-1)^{m}=t(t^{m-1}+{\rm C}_{m}^{1}t^{m-2}+\cdots)+(-1)^{m},\]所以当 $m$ 为奇数时，$b=-1$，此时$$C=\left\{a^{2n+1}\mid n\in\mathbb N^{*}\right\};$$当 $m$ 为偶数时，$b=1$，此时$$C=\left\{a^{2n}\mid n\in\mathbb N^{*}\right\}.$$ 备注3