证明：不等式 ${\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n} < n! < {\left( {\dfrac{n}{2}} \right)^n}$ 在自然数 $n \geqslant 6$ 的条件下成立．
【难度】
【出处】
2003年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
用数学归纳法．
当 $n = 6$ 时，$${\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n} = {2^6} = 64,n ! = 720,{\left( {\dfrac{n}{2}} \right)^n} = {3^6} = 729.$$原不等式成立；
设原式对 $n$ 时成立，则对 $n + 1$ 时，$$\left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n} < \left( {n + 1} \right) ! = \left( {n + 1} \right) \cdot n ! < \left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{n}{2}} \right)^n}.$$用分析法，命题成立只需$$\begin{cases}
{\left( {\dfrac{{n + 1}}{3}} \right)^{n+1}} < \left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n} ,\\
\left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{n}{2}} \right)^n} < {\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)^{n + 1}} ,\\
\end{cases}$$只需$$ 2 < {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} < 3.$$由二项式定理容易证明上面的不等式．于是原命题成立．
当 $n = 6$ 时，$${\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n} = {2^6} = 64,n ! = 720,{\left( {\dfrac{n}{2}} \right)^n} = {3^6} = 729.$$原不等式成立；
设原式对 $n$ 时成立，则对 $n + 1$ 时，$$\left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n} < \left( {n + 1} \right) ! = \left( {n + 1} \right) \cdot n ! < \left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{n}{2}} \right)^n}.$$用分析法，命题成立只需$$\begin{cases}
{\left( {\dfrac{{n + 1}}{3}} \right)^{n+1}} < \left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n} ,\\
\left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{n}{2}} \right)^n} < {\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)^{n + 1}} ,\\
\end{cases}$$只需$$ 2 < {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} < 3.$$由二项式定理容易证明上面的不等式．于是原命题成立．
答案
解析
备注
