已知 ${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 1$，${x_i} > 0$，$i = 1,2, \cdots ,n$，求证：\[\left( {\sqrt 2 + {x_1}} \right)\left( {\sqrt 2 + {x_2}} \right) \cdots \left( {\sqrt 2 + {x_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}.\]
【难度】
【出处】
2014年北京大学等三校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将不等式左边直接展开得$$\begin{split} LHS=&(\sqrt 2)^n+(\sqrt 2)^{n-1}(x_1+x_2+\cdots+x_n)+(\sqrt 2)^{n-2}(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n)+\cdots+\sqrt 2(x_1x_2\cdots x_{n-1}+\cdots+x_2x_3\cdots x_n)+x_1x_2\cdots x_n\\
\geqslant &(\sqrt 2)^n+(\sqrt 2)^{n-1}\cdot n+(\sqrt 2)^{n-2}\cdot{\rm C}_n^2+\cdots+\sqrt 2\cdot{\rm C}_n^{n-1}+1\\
=&(\sqrt 2+1)^n.\end{split} $$当且仅当 $x_1=x_2=\cdots=x_n=1$ 时等号成立．
\geqslant &(\sqrt 2)^n+(\sqrt 2)^{n-1}\cdot n+(\sqrt 2)^{n-2}\cdot{\rm C}_n^2+\cdots+\sqrt 2\cdot{\rm C}_n^{n-1}+1\\
=&(\sqrt 2+1)^n.\end{split} $$当且仅当 $x_1=x_2=\cdots=x_n=1$ 时等号成立．
答案
解析
备注
