已知 $\left(2x+\dfrac{1}{x^2}+a\right)^6$ 的展开式中常数项为 $1$，求 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-1$ 或 $-\sqrt[3]{239}$
【解析】
我们熟知 $(a_1+a_2+\cdots +a_m)^n$（$m,n\geqslant 2$ 且 $m,n\in\mathbb Z$）的展开式中，包含 $a_1^{i_1}a_2^{i_2}\cdots a_m^{i_m}$ 的项的系数为\[\dfrac{n!}{i_1!\cdot i_2!\cdots i_m!},\]其中 $i_1+i_2+\cdots+i_m =n$．记\[(n,i_1,i_2,\cdots,i_{m-1})=\dfrac{n!}{i_1!\cdot i_2!\cdots i_m!}\cdot a_1^{i_1}a_2^{i_2}\cdots a_m^{i_m},\]则在本题中，有\[(6,0,0)+(6,2,1)+(6,4,2)=a^6+240a^3+240=1,\]解得 $a=-1$ 或 $-\sqrt[3]{239}$．
答案
解析
备注
