求 $\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{50} {\sum\limits_{j = 0}^{50} {\mathrm{C}_{50}^i\mathrm{C}_{50}^j} } $ 除以 $31$ 的余数．
【难度】
【出处】
2008年南开大学自主招生考试数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{50} {\sum\limits_{j = 0}^{50} {\mathrm{C}_{50}^i\mathrm{C}_{50}^j} }=\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{50} {\mathrm{C}_{50}^i \cdot {2^{50}}} = {2^{100}},$$而$${2^5} = 32 \equiv 1\left( {\bmod 31} \right),$$所以 ${2^{100}} \equiv 1\left( {\bmod 31} \right)$．
答案
解析
备注
