题目 设集合 $I=\{1,2,3,\cdots ,n\}$（$n\in\mathbb N^*$），选择 $I$ 的两个非空子集 $A$ 和 $B$，使 $B$ 中最小的数大于 $A$ 中最大的数，记不同的选择方法种数为 $a_n$，显然 $a_1=0$，$a_2={\rm C}_2^2=1$． 问题1 求 $a_n$； 答案1 $a_n=n\cdot 2^{n-1}-2^n+1$（$n\in \mathbb N^*$） 解析1 依题意得，$a_1=0$．<br/>当 $n\geqslant 2$ 时，\[\begin{split}a_n&={\rm C}_n^2+2{\rm C}_n^3+3{\rm C}_n^4+\cdots +(n-1){\rm C}_n^n\\&=\left(2{\rm C}_n^2+3{\rm C}_n^3+\cdots +n{\rm C}_n^n\right)-\left({\rm C}_n^2+{\rm C}_n^3+\cdots +{\rm C}_n^n\right)\\&=\left({\rm C}_n^1+2{\rm C}_n^2+3{\rm C}_n^3+\cdots +n{\rm C}_n^n\right)-\left({\rm C}_n^1+{\rm C}_n^2+\cdots +{\rm C}_n^n\right)\\&=n\left({\rm C}_{n-1}^0+{\rm C}_{n-1}^1+{\rm C}_{n-1}^2+\cdots +{\rm C}_{n-1}^{n-1}\right)-\left({\rm C}_n^1+{\rm C}_n^2+\cdots +{\rm C}_n^n\right)\\&=n\cdot 2^{n-1}-(2^n-1)\\&=n\cdot 2^{n-1}-2^n+1.\end{split}\]又因为 $a_1=0$，$a_2=1$ 也适合上式，故$$a_n=n\cdot 2^{n-1}-2^n+1(n\in \mathbb N^*).$$ 备注1 问题2 记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求 $S_n$． 答案2 $(n-3)\cdot 2^n+n+3$ 解析2 由 $(1)$ 得\[\begin{split}S_n&=a_1+a_2+\cdots +a_n\\&=\left(1\cdot 2^0+2\cdot 2^1+\cdots +n\cdot 2^{n-1}\right)-\left(2^1+2^2+\cdots +2^n\right)+n.\end{split}\]记$$T_n=1\cdot 2^0+2\cdot 2^1+\cdots +n\cdot 2^{n-1},\cdots \text{ ① }$$则$$2T_n=1\cdot 2^1+2\cdot 2^2+\cdots +n\cdot 2^n,\cdots \text{ ② }$$① 式减 ② 式得\[\begin{split}-T_n&=1+2^1+2^2+\cdots +2^{n-1}-n\cdot 2^n\\&=2^n-1-n\cdot 2^n\\&=(1-n)\cdot 2^n-1,\end{split}\]所以$$T_n=(n-1)\cdot 2^n+1,$$故\[\begin{split}S_n&=(n-1)\cdot 2^n+1-\left(2^{n+1}-2\right)+n\\&=(n-3)\cdot 2^n+n+3.\end{split}\] 备注2