求证：${\left( {{\mathrm{C}}_n^0} \right)^2} + {\left( {{\mathrm{C}}_n^1} \right)^2} + {\left( {{\mathrm{C}}_n^2} \right)^2} + \cdots + {\left( {{\mathrm{C}}_n^n} \right)^2} = {\mathrm{C}}_{2n}^n$．
【难度】
【出处】
2006年复旦大学推优保送生考试（A卷）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$(1+x)^n\cdot(1+x)^n=(1+x)^{2n},$$从等式左边看，其中 $x^n$ 的系数为$${\mathrm{C}}_n^0 \cdot {\mathrm{C}}_n^n + {\mathrm{C}}_n^1 \cdot {\mathrm{C}}_n^{n - 1} + {\mathrm{C}}_n^2 \cdot {\mathrm{C}}_n^{n - 2} + \cdots + {\mathrm{C}}_n^n \cdot {\mathrm{C}}_n^0 ,$$即题中等式的等号左侧部分．
从等式右边看，$x^n$ 的系数为$${\mathrm{C}}_{2n}^n,$$因此题中等式成立．
从等式右边看，$x^n$ 的系数为$${\mathrm{C}}_{2n}^n,$$因此题中等式成立．
答案
解析
备注
