已知 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的奇函数，$f(1)=1$，且对任意 $x<0$，均有 $f\left(\dfrac x{x-1}\right)=xf(x)$．求\[f(1)f \left(\dfrac 1{100} \right )+f \left(\dfrac12 \right)f \left(\dfrac 1{99} \right)+f \left(\dfrac 13 \right )f \left(\dfrac 1{98} \right )+\cdots+f \left(\dfrac 1{50} \right)f \left(\dfrac 1{51} \right)\]的值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2^{98}}{99!}$
【解析】
令 $x=-\dfrac 1n$，$n\in\mathbb N^*$，则$$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{-\dfrac 1n}{-\dfrac 1n-1}=\dfrac{1}{n+1},$$于是有$$f\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=-\dfrac 1nf\left(-\dfrac 1n\right)=\dfrac 1n f\left(\dfrac 1n\right),$$记 $a_n=f\left(\dfrac 1n\right)$，$n\in\mathbb N^*$，则有 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac 1n$，从而$$a_n=\dfrac{1}{(n-1)!}.$$于是所求代数式即$$\sum_{i=1}^{50}a_ia_{101-i}=\sum_{i=1}^{50}\dfrac{1}{(i-1)!\cdot (100-i)!}
=\dfrac{1}{99!}\sum_{i=0}^{49}{\rm C}_{99}^i
=\dfrac{1}{99!}\cdot \dfrac 12\sum_{i=0}^{99}{\rm C}_{99}^i
=\dfrac{2^{98}}{99!}.$$
=\dfrac{1}{99!}\sum_{i=0}^{49}{\rm C}_{99}^i
=\dfrac{1}{99!}\cdot \dfrac 12\sum_{i=0}^{99}{\rm C}_{99}^i
=\dfrac{2^{98}}{99!}.$$
答案
解析
备注
