证明：如果 $p$ 为素数，则 $p^2\mid \left({\mathrm C}_{2p}^p-2\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们熟知组合恒等式（考虑 $(1+x)^m\cdot (1+x)^n$ 的展开式中 $x^n$ 的系数，其中 $m\geqslant n$）$${\mathrm C}_{m+n}^n={\mathrm C}_m^0\cdot{\mathrm C}_n^n+{\mathrm C}_m^1\cdot{\mathrm C}_n^{n-1}+\cdots +{\mathrm C}_m^n\cdot{\mathrm C}_n^0,$$因此令 $m=n=p$，则有$${\mathrm C}_{2p}^p-2=\left({\mathrm C}_p^1\right)^2+\cdots +\left({\mathrm C}_p^{p-1}\right)^2,$$而由于$$k! \mid p(p-1)(p-2)\cdots (p-k+1),k=1,2,\cdots ,p-1,$$（上式由 $\mathrm {C}_p^k\in\mathbb Z$ 得到）而 $k<p$，因此$$k! \mid (p-1)(p-2)\cdots (p-k+1),k=1,2,\cdots ,p-1,$$从而 $p \mid {\mathrm C}_p^k$（这是因为 $\mathrm {C}_p^k=p\cdot\dfrac{(p-1)!}{k!(p-k)!}$，而 $\dfrac{(p-1)!}{k!(p-k)!}\in\mathbb Z$），其中 $k=1,2,\cdots ,p-1$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
