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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15894 603f4bfd25bdad000ac4d871 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ 的右焦点为 $F$，点 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ 是椭圆 $C$ 上的两点，且满足 $x_1+x_2=1, x_1\neq x_2$．证明：若 $FA\perp FB$，则以 $AB$ 为直径的圆恒过一个异于 $F$ 的定点． 2022-04-17 19:50:17
15845 5a40a9a2fab7080008a76b15 高中 解答题 自招竞赛 已知动圆 $P$ 在圆 $E:(x+1)^2+y^2=\dfrac 14$ 外部且与圆 $E$ 相切，同时还在圆 $F:(x-1)^2+y^2=\dfrac{49}4$ 的内部且与圆 $F$ 相切． 2022-04-17 19:25:17
15747 5908616a060a050008e62324 高中 解答题 高中习题 已知过点 $A(1,1)$ 且斜率为 $k$（$k<0$）的直线与 $x,y$ 轴分别交于 $P,Q$，过 $P,Q$ 作直线 $2x+y=0$ 的垂线，垂足分别为 $R,S$，求四边形 $PRSQ$ 的面积的最小值． 2022-04-17 19:35:16
15742 59095609060a05000b3d200a 高中 解答题 高中习题 若方程 $m\left(x^2+y^2+2y+1\right)=\left(x-2y+3\right)^2$ 表示的曲线是椭圆，求 $m$ 的取值范围． 2022-04-17 19:32:16
15726 59098eae38b6b4000adaa242 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F$ 是 $x$ 轴正半轴上的一个动点，以 $F$ 为焦点、$O$ 为顶点作抛物线 $C$，设 $P$ 是第一象限内 $C$ 上 的一点，$Q$ 是 $x$ 轴负半轴上一点，使得 $PQ$ 为 $C$ 的切线，且 $\left|PQ\right|=2$，圆 $C_1,C_2$ 均与直线 $OP$ 相切于点 $P$，且均与 $x$ 轴相切，求点 $F$ 的坐标，使圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的面积之和取到最小值． 2022-04-17 19:23:16
15722 5909999938b6b400091f002e 高中 解答题 高中习题 已知圆 $C_1:x^2+y^2+2x-6y+1=0$ 和圆 $C_2:x^2+y^2-4x+2y-11=0$，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 2022-04-17 19:21:16
15721 59099a0738b6b4000adaa2a6 高中 解答题 自招竞赛 求过抛物线 $y=2x^2-2x-1$，$y=-5x^2+2x+3$ 的两个交点的直线方程． 2022-04-17 19:20:16
15714 590a96d56cddca0008610d92 高中 解答题 高中习题 已知 $P$ 为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的动点，$F_1,F_2$ 为椭圆的两个焦点，设 $\triangle PF_1F_2$ 的外接圆和内切圆半径分别为 $R,r$，求 $\dfrac{R}{r}$ 的取值范围． 2022-04-17 19:16:16
15705 590acfa06cddca00092f7012 高中 解答题 高中习题 已知曲线 $C_n:x^2-2nx+y^2=0$（$n=1,2,\cdots $）．从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n$ 引斜率为 $k_n$（$k_n>0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n,y_n)$． 2022-04-17 19:11:16
15701 590ad3696cddca00092f7037 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $L:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $L$ 的左右焦点，点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 在椭圆 上，设 $A$ 为椭圆 $L$ 上一个动点，弦 $AB,AC$ 分别过焦点 $F_1,F_2$，且 $\overrightarrow{AF_1}=\lambda_1\overrightarrow{F_1B}$，$\overrightarrow{AF_2}=\lambda_2\overrightarrow{F_2C}$． 2022-04-17 19:09:16
15690 590bd93a6cddca00078f3a99 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），过椭圆上一点 $M$ 作圆 ${x^2} + {y^2} = {b^2}$ 的两条切线，切点分别为 $P$、$Q$，直线 $PQ$ 与坐标轴的交点分别为 $E$、$F$，求 $\triangle EOF$ 面积的最小值． 2022-04-17 19:02:16
15687 590be0d96cddca00092f7157 高中 解答题 自招竞赛 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线的斜率之积为 $-3$，左右两支分别有动点 $A$ 和 $B$． 2022-04-17 19:01:16
15677 590c26eb857b42000aca380b 高中 解答题 高中习题 化简集合 $M=\left\{(x,y)\mid y=px+p^2,p\in \mathbb R\right\}$． 2022-04-17 19:56:15
15667 590fde96857b4200092b0761 高中 解答题 自招竞赛 设抛物线 ${y^2} = 2px$ $\left({p > 0} \right)$ 的焦点是 $ F $，$ A,B $ 是抛物线上互异的两点，直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴不垂直，线段 $ AB $ 的垂直平分线交 $ x $ 轴于点 $ D(a,0)$，记 $ m = \left| {AF} \right| + \left| {BF} \right|$． 2022-04-17 19:51:15
15656 59101e99857b4200092b0824 高中 解答题 自招竞赛 如图，${P_1}({x_1},{y_1})$，${P_2}({x_2},{y_2})$，$ \cdots $，${P_n}({x_n},{y_n})$，$(0 < {y_1} < {y_2} <\cdots< {y_n},n \in {\mathbb N^ * })$ 是曲线 $C:{y^2} = 3x (y \geqslant 0)$ 上的 $n$ 个点，点 $A_i({a_i},0) (i = 1,2,3, \cdots ,n)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\Delta {A_{i - 1}}{A_i}{P_i}$ 是正三角形（${A_0}$ 是坐标原点）． 2022-04-17 19:43:15
15650 59112c5be020e7000878f554 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线族 $2y = {x^2} - 6x\cos t - 9{\sin ^2}t + 8\sin t + 9$，其中参数 $t \in {\mathbb{R}}$． 2022-04-17 19:39:15
15642 5912655fe020e70007fbeba0 高中 解答题 自招竞赛 设 $A,B$ 为 $y = 1 - {x^2}$ 上在 $y$ 轴两侧的点，求过 $A,B$ 的切线与 $x$ 轴围成面积的最小值． 2022-04-17 19:35:15
15638 59126e6be020e70007fbec3a 高中 解答题 自招竞赛 如图，过抛物线 $C:{y^2} = 8x$ 上一点 $P\left( {2, 4} \right)$ 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于 $A,B$ 两点． 2022-04-17 19:32:15
15625 59127b36e020e70007fbed0c 高中 解答题 自招竞赛 在四分之一个椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$x > 0,y > 0$）上取一点 $P$，使过 $P$ 点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角形的面积最小，求点 $P$ 的坐标以及所围成的三角形最小面积． 2022-04-17 19:25:15
15621 59127eebe020e700094b0bf0 高中 解答题 自招竞赛 类似于在平面上建立直角坐标系，如图，我们在平面上建立一个斜角坐标系，使得 $y$ 轴与 $x$ 轴的夹角为 $60^\circ $．设 $P$ 为平面上任意一点，过 $P$ 分别作 $y$ 轴与 $x$ 轴的平行线，分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 ${P_1}$、${P_2}$ 点，则 ${P_1}$、${P_2}$ 点分别在 $x$ 轴、$y$ 轴上的坐标 $x$、$y$ 称为点 $P$ 在斜角坐标系 $xOy$ 中的坐标，记为 $\left( {x, y} \right)$．在坐标平面内，方向与 $x$ 轴和 $y$ 轴正方向相同的两个单位向量分别记为 $\overrightarrow i $ 和 $\overrightarrow j $． 2022-04-17 19:23:15
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