化简集合 $M=\left\{(x,y)\mid y=px+p^2,p\in \mathbb R\right\}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left\{(x,y)\mid y\geqslant -\dfrac 14x^2\right\}$
【解析】
考虑抛物线 $y=ax^2$ 在 $x=t$ 处的切线方程，为\[y=2at(x-t)+at^2,\]即\[y=2atx-at^2.\]令\[\begin{cases}2at=p,\\ -at^2=p^2,\end{cases}\]解得 $a=-\dfrac 14$，$t=-2p$．于是题中集合即抛物线 $y=-\dfrac 14x^2$ 的所有切线上的点构成的集合，也即\[\left\{(x,y)\mid y\geqslant -\dfrac 14x^2\right\}.\]
答案
解析
备注
