已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线的斜率之积为 $-3$，左右两支分别有动点 $A$ 和 $B$．
【难度】
【出处】
2014年卓越联盟自主招生试题
【标注】
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设直线 $AB$ 的斜率为 $1$，经过点 $D(0,5a)$，且 $\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{DB}$，求实数 $\lambda$ 的值；标注答案$\dfrac 27$解析题中双曲线的两条渐近线的离心率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，于是根据题意，双曲线的方程为$$3x^2-y^2-3a^2=0.$$直线 $AB$ 的方程为 $y=x+5a$，与双曲线的方程联立，可得$$x^2-5ax-14a^2=0,$$解得 $x=-2a$ 或 $x=7a$．因此实数 $\lambda$ 的值为 $\dfrac 27$．
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设点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $M$，若直线 $AB$、$MB$ 分别与 $x$ 轴相交于点 $P$、$Q$，$O$ 为坐标原点，证明：$OP\cdot OQ=a^2$．标注答案略解析设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，则点 $M\left(x_1,-y_1\right)$．根据截距坐标公式，有\[\begin{split}OP\cdot OQ&=\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}\cdot \dfrac{x_1y_2-x_2\cdot (-y_1)}{y_2-(-y_1)}\\ &=\dfrac{x_1^2y_2^2-x_2^2y_1^2}{y_2^2-y_1^2}\\ &=\dfrac{\left(a^2+\dfrac 13y_1^2\right)y_2^2-\left(a^2+\dfrac 13y_2^2\right)y_1^2}{y_2^2-y_1^2}\\ &=a^2,\end{split}\]因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
