在四分之一个椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$x > 0,y > 0$）上取一点 $P$，使过 $P$ 点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角形的面积最小，求点 $P$ 的坐标以及所围成的三角形最小面积．
【难度】
【出处】
2005年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$P\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 2 }},\dfrac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)$，$ab$
【解析】
作仿射变换．
对于圆 ${x^2} + {y^2} = {a^2}$，所涉及的三角形面积最小值为 ${a^2}$，对应的 $P'$ 坐标为 $\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 2 }},\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)$．
因此对于椭圆，当 $P\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 2 }},\dfrac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)$ 时围成的三角形面积最小，为 $ab$．
对于圆 ${x^2} + {y^2} = {a^2}$，所涉及的三角形面积最小值为 ${a^2}$，对应的 $P'$ 坐标为 $\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 2 }},\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)$．
因此对于椭圆，当 $P\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 2 }},\dfrac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)$ 时围成的三角形面积最小，为 $ab$．
答案
解析
备注
