已知 $P$ 为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的动点，$F_1,F_2$ 为椭圆的两个焦点，设 $\triangle PF_1F_2$ 的外接圆和内切圆半径分别为 $R,r$，求 $\dfrac{R}{r}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{a^2}{2(a-c)c},+\infty\right)$
【解析】
设椭圆的焦距 $|F_1F_2|=2c=2\sqrt{a^2-b^2}$，$\angle F_1PF_2=\theta$，则$$R=\dfrac{|F_1F_2|}{2\sin\theta}=\dfrac{c}{\sin\theta},$$下面计算内切圆半径 $r$：
用面积计算有$$r=\dfrac{2S_{\triangle PF_1F_2}}{|PF_1|+|PF_2|+|F_1F_2|}=\dfrac{2b^2\tan\dfrac{\theta}2}{2a+2c}=(a-c)\tan{\dfrac{\theta}{2}},$$其中用到了焦点三角形的面积 $S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\tan\dfrac{\theta}2,\theta=\angle F_1PF_2$．
用内切圆的性质有$$r=\dfrac{2a-2c}{2}\cdot\tan{\dfrac{\theta}{2}}=(a-c)\tan\dfrac{\theta}{2}.$$于是$$\dfrac{R}{r}=\dfrac{c}{2(a-c)}\cdot \dfrac{1}{\sin^2\dfrac{\theta}2},$$考虑到 $\sin\dfrac{\theta}2$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac ca\right]$，因此所求 $\dfrac{R}{r}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{a^2}{2(a-c)c},+\infty\right)$．
用面积计算有$$r=\dfrac{2S_{\triangle PF_1F_2}}{|PF_1|+|PF_2|+|F_1F_2|}=\dfrac{2b^2\tan\dfrac{\theta}2}{2a+2c}=(a-c)\tan{\dfrac{\theta}{2}},$$其中用到了焦点三角形的面积 $S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\tan\dfrac{\theta}2,\theta=\angle F_1PF_2$．
用内切圆的性质有$$r=\dfrac{2a-2c}{2}\cdot\tan{\dfrac{\theta}{2}}=(a-c)\tan\dfrac{\theta}{2}.$$于是$$\dfrac{R}{r}=\dfrac{c}{2(a-c)}\cdot \dfrac{1}{\sin^2\dfrac{\theta}2},$$考虑到 $\sin\dfrac{\theta}2$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac ca\right]$，因此所求 $\dfrac{R}{r}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{a^2}{2(a-c)c},+\infty\right)$．
答案
解析
备注
