如图，过抛物线 $C:{y^2} = 8x$ 上一点 $P\left( {2, 4} \right)$ 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
2007年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
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求直线 $AB$ 的斜率；标注答案$-1$解析抛物线上任意两点 $M $ $\left( {{x_1}, {y_1}} \right),N\left( {{x_2}, {y_2}} \right)$ 连线的斜率$$ {k_{MN}} = \dfrac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{{y_1} - {y_2}}}{{\dfrac{{{y_1}^2}}{8} - \dfrac{{{y_2}^2}}{8}}} = \dfrac{8}{{{y_1} + {y_2}}},$$设 $A\left( {{x_1}, {y_1}} \right),B\left( {{x_2}, {y_2}} \right)$，则$$ {k_{PA}} = \dfrac{8}{{{y_1} + 4}} , {k_{PB}} = \dfrac{8}{{{y_2} + 4}} , {k_{AB}} = \dfrac{8}{{{y_1} + {y_2}}},$$显然$${k_{AB}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{k_{PA}}}} + \dfrac{1}{{{k_{PB}}}} - 1}} = - 1.$$
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如果 $A,B$ 两点均在 ${y^2} = 8x$（$y \leqslant 0$）上，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值．标注答案$24$解析设直线 $AB$ 的方程为 $y=-x+b,b \leqslant 0$，联立直线 $AB$ 与抛物线，有$${\left( { - x + b} \right)^2} = 8x,$$整理得$${x^2} - \left( {8 + 2b} \right)x + {b^2} = 0,$$于是$$\left| {AB} \right| = \sqrt 2 \cdot \sqrt {{{\left( {8 + 2b} \right)}^2} - 4{b^2}} = 8\sqrt {2 + b},$$而 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $\dfrac{{6 - b}}{{\sqrt 2 }}$，所以 $\triangle PAB$ 的面积$$S= \dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt {2 + b} \cdot \dfrac{{6 - b}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \cdot \sqrt {2 + b} \cdot \left( {6 - b} \right),$$设 $t = \sqrt {2 + b} $，则 $t \in \left[ {0, \sqrt 2 } \right]$，则$$S= 2\sqrt 2 \left( {8t - {t^3}} \right),$$由于函数 $f\left( t \right) = 8t - {t^3}$ 的导数$$f'\left( t \right) = 8 - 3{t^2} > 0,$$所以 $f\left( t \right)$ 在 $\left[ {0, \sqrt 2 } \right]$ 上是单调递增函数．
因此，当 $x=\sqrt2$ 时，$\triangle PAB$ 的面积取到最大值 $2\sqrt 2 \left( {8\sqrt 2 - 2\sqrt 2 } \right) = 24$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
