已知抛物线族 $2y = {x^2} - 6x\cos t - 9{\sin ^2}t + 8\sin t + 9$，其中参数 $t \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2001年上海交通大学连读班测试
【标注】
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求抛物线顶点的轨迹方程；标注答案$\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} =1$解析因为$$y = \dfrac{1}{2}{\left( {x - 3\cos t} \right)^2} + 4\sin t,$$所以顶点为$$\begin{cases}
x = 3\cos t ,\\
y = 4\sin t ,\\
\end{cases}$$其轨迹方程为$$\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} =1.$$ -
求在直线 $y = 12$ 上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．标注答案弦长最大为 $8\sqrt 2 $，此时抛物线方程为 $2y = {x^2} - 8$解析$y = 12$ 时，$${x^2} - 6x\cos t + 9{\cos ^2}t + 8\sin t - 24 = 0,$$弦长为$$\sqrt {36{{\cos }^2}t - 4\left( {9{{\cos }^2}t + 8\sin t - 24} \right)} = 4\sqrt {6 - 2\sin t},$$所以当 $\sin t = - 1$ 时，弦长最大，为 $8\sqrt 2 $，此时抛物线方程为 $2y = {x^2} - 8$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
