题目 类似于在平面上建立直角坐标系，如图，我们在平面上建立一个斜角坐标系，使得 $y$ 轴与 $x$ 轴的夹角为 $60^\circ $．设 $P$ 为平面上任意一点，过 $P$ 分别作 $y$ 轴与 $x$ 轴的平行线，分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 ${P_1}$、${P_2}$ 点，则 ${P_1}$、${P_2}$ 点分别在 $x$ 轴、$y$ 轴上的坐标 $x$、$y$ 称为点 $P$ 在斜角坐标系 $xOy$ 中的坐标，记为 $\left( {x, y} \right)$．在坐标平面内，方向与 $x$ 轴和 $y$ 轴正方向相同的两个单位向量分别记为 $\overrightarrow i $ 和 $\overrightarrow j $．<br><img src="/static/images/4c0a6fb8372c3ebc34e7cb7e4ed605e3.png" class="img-responsive" /> 问题1 若 $A\left( {{x_1}, {y_1}} \right)$ 及 $B\left( {{x_2}, {y_2}} \right)$，用 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 表示 $A$、$B$ 两点的距离 $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$； 答案1 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(x_2-x_1)(y_2-y_1)+(y_2-y_1)^2}.$ 解析1 设直角坐标为 $(x,y)$，则有$$\begin{cases} x'=x+\dfrac 12y,\\y'=\dfrac {\sqrt 3}2y.\end{cases}$$而 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，于是有$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(x+\dfrac 12y\right)^2+\left(\dfrac {\sqrt 3}2y\right)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(x_2-x_1)(y_2-y_1)+(y_2-y_1)^2}.$$ 备注1 问题2 设 $M\left( { - 2, 3} \right)$，$O$ 为坐标原点，求过点 $M$ 且与 $OM$ 垂直的直线 $l$ 的方程； 答案2 $x-4y+14=0$ 解析2 点 $M$ 在直角坐标系下的坐标为$$\left(-\dfrac 12,\dfrac 32\sqrt 3\right),$$所以在直角坐标系下直线 $l$ 的方程为$$y'=\dfrac {\sqrt 3}9\left(x'+\dfrac 12\right)+\dfrac 32\sqrt 3,$$于是在斜角坐标系下直线 $l$ 的方程为$$\dfrac {\sqrt 3}2y=\dfrac {\sqrt 3}9\left(x+\dfrac 12y+\dfrac 12\right)+\dfrac 32\sqrt 3,$$化简得 $x-4y+14=0$． 备注2 问题3 设 $C$ 是以原点 $O$ 为焦点，且以直线 $y = 1$ 为准线的抛物线，试确定直线 $x - y + 1 = 0$ 与抛物线 $C$ 的交点个数． 答案3 $1$ 解析3 抛物线在直角坐标系下的方程为$$x'^2=-\sqrt 3\left(y'-\dfrac {\sqrt 3}4\right),$$直线 $x-y+1=0$ 在直角坐标系下的方程为$$x'-\sqrt 3y'+1=0,$$联立消去 $y'$ 得$$x'^2+x'+\dfrac 14=0,$$所以直线与抛物线有且只有一个公共点． 备注3 第 $(1)$ $(2)$ 问直接用向量 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 表示点的坐标，通过向量的运算也可以方便地解决．