如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F$ 是 $x$ 轴正半轴上的一个动点，以 $F$ 为焦点、$O$ 为顶点作抛物线 $C$，设 $P$ 是第一象限内 $C$ 上 的一点，$Q$ 是 $x$ 轴负半轴上一点，使得 $PQ$ 为 $C$ 的切线，且 $\left|PQ\right|=2$，圆 $C_1,C_2$ 均与直线 $OP$ 相切于点 $P$，且均与 $x$ 轴相切，求点 $F$ 的坐标，使圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的面积之和取到最小值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$F\left(\dfrac{1}{\sqrt{3-\sqrt 3}},0\right)$
【解析】
如图，设抛物线方程为 $C:y^2=2px$，焦点 $F\left(\dfrac p2,0\right)$，连接 $C_1C_2$，$PF$．
设 $P\left(2pa^2,2pa\right)$，则根据抛物线的光学性质，$|FQ|=|PF|$，于是 $Q\left(-2pa^2,0\right)$，进而由 $|PQ|=2$，可得$$4p^2a^4+p^2a^2=1,$$即$$p^2a^2=\dfrac{1}{4a^2+1}.$$圆心 $C_1,C_2$ 都在过点 $P$ 且与 $OP$ 垂直的直线 $l$ 上，设直线 $l$ 的参数方程为$$\begin{cases} x=2pa^2+t,\\ y= 2pa-at,\end{cases}$$根据题意，$C_1,C_2$ 对应的参数满足$$\sqrt{1+a^2}\cdot |t|=2pa-at,$$即$$t^2+4pa^2t-4p^2a^2=0,$$因此圆 $C_1$ 的面积 $S_1$ 与圆 $C_2$ 的面积 $S_2$ 之和\[\begin{split} S_1+S_2&=\pi\left[\left(1+a^2\right)t_1^2+\left(1+a^2\right)t_2^2\right]\\
&=\pi \left(1+a^2\right)\left[\left(-4pa^2\right)^2+2\cdot 4p^2a^2\right]\\
&=\pi\left(1+a^2\right)\left(16a^2+8\right)\cdot p^2 a^2\\
&=\dfrac{\pi \left(16a^4+24a^2+8\right)}{4a^2+1}\\
&=\pi\left(4a^2+1+\dfrac{3}{4a^2+1}+4\right)\\
&\geqslant \pi\left(4+2\sqrt 3\right),\end{split}\]等号当 $4a^2+1=\sqrt 3$，即 $a^2=\dfrac{\sqrt 3-1}4$ 时取得．此时$$p^2=\dfrac{1}{a^2\left(4a^2+1\right)}=\dfrac{4}{\left(\sqrt 3-1\right)\cdot \sqrt 3},$$于是 $F$ 点的坐标为 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3-\sqrt 3}},0\right)$．
设 $P\left(2pa^2,2pa\right)$，则根据抛物线的光学性质，$|FQ|=|PF|$，于是 $Q\left(-2pa^2,0\right)$，进而由 $|PQ|=2$，可得$$4p^2a^4+p^2a^2=1,$$即$$p^2a^2=\dfrac{1}{4a^2+1}.$$圆心 $C_1,C_2$ 都在过点 $P$ 且与 $OP$ 垂直的直线 $l$ 上，设直线 $l$ 的参数方程为$$\begin{cases} x=2pa^2+t,\\ y= 2pa-at,\end{cases}$$根据题意，$C_1,C_2$ 对应的参数满足$$\sqrt{1+a^2}\cdot |t|=2pa-at,$$即$$t^2+4pa^2t-4p^2a^2=0,$$因此圆 $C_1$ 的面积 $S_1$ 与圆 $C_2$ 的面积 $S_2$ 之和\[\begin{split} S_1+S_2&=\pi\left[\left(1+a^2\right)t_1^2+\left(1+a^2\right)t_2^2\right]\\&=\pi \left(1+a^2\right)\left[\left(-4pa^2\right)^2+2\cdot 4p^2a^2\right]\\
&=\pi\left(1+a^2\right)\left(16a^2+8\right)\cdot p^2 a^2\\
&=\dfrac{\pi \left(16a^4+24a^2+8\right)}{4a^2+1}\\
&=\pi\left(4a^2+1+\dfrac{3}{4a^2+1}+4\right)\\
&\geqslant \pi\left(4+2\sqrt 3\right),\end{split}\]等号当 $4a^2+1=\sqrt 3$，即 $a^2=\dfrac{\sqrt 3-1}4$ 时取得．此时$$p^2=\dfrac{1}{a^2\left(4a^2+1\right)}=\dfrac{4}{\left(\sqrt 3-1\right)\cdot \sqrt 3},$$于是 $F$ 点的坐标为 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3-\sqrt 3}},0\right)$．
答案
解析
备注
