设抛物线 ${y^2} = 2px$ $\left({p > 0} \right)$ 的焦点是 $ F $，$ A,B $ 是抛物线上互异的两点，直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴不垂直，线段 $ AB $ 的垂直平分线交 $ x $ 轴于点 $ D(a,0)$，记 $ m = \left| {AF} \right| + \left| {BF} \right|$．
【难度】
【出处】
2012年卓越人才培养合作高校自主选拔学业能力测试数学试题
【标注】
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证明：$a$ 是 $p$ 与 $m$ 的等差中项．标注答案略解析不妨设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，线段 $AB$ 中点为 $M(x_0,y_0)$，于是有$$\begin{cases}
{y_1}^2 = 2p{x_1} ,\\
{y_2}^2 = 2p{x_2} ,\\
\end{cases}$$于是$$\dfrac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{2p}}{{{y_1} + {y_2}}} = \dfrac{p}{{{y_0}}} = {k_{AB}},$$则线段 $AB$ 垂直平分线的方程为$$y - {y_0} = \dfrac{{ - {y_0}}}{p}\left( {x - {x_0}} \right)$$令 $y = 0$ 知，$a = {x_0} + p$．而$$m = \left| {AF} \right| + \left| {BF} \right| = \left( {{x_1} + \dfrac{p}{2}} \right) + \left( {{x_2} + \dfrac{p}{2}} \right) = 2{x_0} + p,$$于是有 $a = \dfrac{{m + p}}{2}$，即 $a$ 是 $p$ 与 $m$ 的等差中项． -
设 $m = 3p$，直线 $l$ 平行于 $y$ 轴，且 $l$ 被以 $AD$ 为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线 $l$ 的方程．标注答案$x = \dfrac{3}{2}p$解析不妨设直线 $l:x = k$，以 $AD$ 为直径的圆的方程为$$\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {y - {y_1}} \right)y = 0.$$联立有$$\left( {k - 2p} \right)\left( {k - {x_1}} \right) + y\left( {y - {y_1}} \right) = 0,$$即$${y^2} - {y_1}y + \left( {k - 2p} \right)\left( {k - {x_1}} \right) = 0.$$解得 $l$ 截圆的弦长为$$\sqrt {{y_1}^2 - 4\left( {k - 2p} \right)\left( {k - {x_1}} \right)} = \sqrt { - 4{k^2} + 8kp + {x_1}\left( {4k - 6p} \right)} .$$而弦长为定值，知 $4k - 6p = 0$，即 $k = \dfrac{3}{2}p$．即直线 $l$ 的方程为 $x = \dfrac{3}{2}p$ 时，$l$ 被以 $AD$ 为直径的圆所截的弦长为定值 $\sqrt 3 p$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
