题目 已知椭圆 $L:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $L$ 的左右焦点，点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 在椭圆 上，设 $A$ 为椭圆 $L$ 上一个动点，弦 $AB,AC$ 分别过焦点 $F_1,F_2$，且 $\overrightarrow{AF_1}=\lambda_1\overrightarrow{F_1B}$，$\overrightarrow{AF_2}=\lambda_2\overrightarrow{F_2C}$． 问题1 求椭圆 $L$ 的方程； 答案1 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 $ 解析1 椭圆 $L$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 $． 备注1 问题2 求 $\lambda_1+\lambda_2$ 的值； 答案2 $6$ 解析2 设 $A$ 点坐标为 $(x_1,y_1)$，$B$ 点坐标为 $(x_2,y_2)$，$C$ 点坐标为 $(x_3,y_3)$．由$$\overrightarrow{AF_1}=\lambda_1 \overrightarrow{F_1B},\overrightarrow{AF_2}=\lambda_2 \overrightarrow{F_2C},$$可得$$x_2=-\dfrac{1+x_1}{\lambda _1}-1,x_3=\dfrac{1-x_1}{\lambda_2}+1 .$$由椭圆的焦准性质可知，$\lambda_1 =\dfrac{x_1+2}{x_2+2} $，将 $x_2=-\dfrac{1+x_1}{\lambda _1}-1$ 代入上式，可得 $\lambda_1=2x_1+3$；同理，$\lambda _2=\dfrac{2-x_1}{2-x_3} $，将 $x_3=\dfrac{1-x_1}{\lambda_2}+1 $ 代入上式，可得 $\lambda_2=-2x_1+3$．<br/>所以 $\lambda_1 +\lambda _2=6$． 备注2 问题3 求 $\triangle F_1AC$ 的面积 $S$ 的最大值． 答案3 $\sqrt 2$ 解析3 因为$$S_{\triangle F_1AC}=\dfrac 12\cdot|F_1F_2|\cdot|y_1-y_3|=|y_1-y_2|,$$设 $AC$ 的方程为 $x=my+1$，与椭圆方程联立得$$(m^2+2)y^2+2my-1=0,$$从而有$$|y_1-y_3|=\dfrac {4m^2+4(m^2+2)}{m^2+2}=2\sqrt 2\cdot\dfrac 1{\sqrt{m^2+1}+\dfrac 1{\sqrt{m^2+1}}}\leqslant \sqrt 2.$$当 $m=0$，即当直线 $AC$ 的方程为 $x=1$ 时，$\triangle F_1AC$ 的面积 $S$ 取到最大值 $\sqrt{2} $． 备注3