已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），过椭圆上一点 $M$ 作圆 ${x^2} + {y^2} = {b^2}$ 的两条切线，切点分别为 $P$、$Q$，直线 $PQ$ 与坐标轴的交点分别为 $E$、$F$，求 $\triangle EOF$ 面积的最小值．
【难度】
【出处】
2014年清华大学等五校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{{{b^3}}}{a}$
【解析】
设 $M\left( {a\cos \theta , b\sin \theta } \right)$，则\[PQ:xa\cos \theta + yb\sin \theta = {b^2},\]即\[\dfrac{x}{{\dfrac{{{b^2}}}{{a\cos \theta }}}} + \dfrac{y}{{\dfrac{b}{{\sin \theta }}}} = 1,\]于是\[{S_{\triangle EOF}} = \left| {\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{{b^2}}}{{a\cos \theta }} \cdot \dfrac{b}{{\sin \theta }}} \right| = \dfrac{{{b^3}}}{a} \cdot \dfrac{1}{{\left| {\sin 2\theta } \right|}}\geqslant \dfrac{{{b^3}}}{a},\]等号当且仅当 $\theta = \dfrac{{\rm \pi}}{4}$ 时取得，因此 $\triangle EOF$ 面积的最小值为 $\dfrac{{{b^3}}}{a}$．
答案
解析
备注
