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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20827 5c74b7fe210b284290fc2318 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$ 。 $S$ 是所有长度为 $2$，且两个端点在正方形相邻两边上的线段组成的集合。 $S$ 中每条线段的中点围成了一个图形，设这个图形的面积（精确到百分位））为 $k$，求 $100k$ 。 2022-04-17 20:24:03
20797 5c74ddd0210b28428f14cc06 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标平系中，$\vartriangle ABC$ 的面积为70，顶点 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $\left( p, q \right)$，$\left( 12, 19 \right)$ 和 $\left( \text{23} ,\text{2}0 \right)$，$BC$ 边上中线所在的直线斜率为 $-5$，求 $p+q$ 的最大值。 2022-04-17 20:06:03
20793 5c74ddf4210b284290fc23c6 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标平系中有四个点 $A\left( 0, 12 \right)$，$B\left( 10 ,9 \right)$，$C\left( 8, 0 \right)$，$C\left( 8 ,0 \right)$，$D\left( -4 ,7 \right)$，有唯一的正方形 $S$ 使得 $A$，$B$，$C$，$D$ 分别在 $S$ 的四条边上，设正方形 $S$ 的面积为 $K$，求 $10K$ 除以1000的余数。 2022-04-17 20:04:03
20786 5c74ea6d210b28428f14cc43 高中 解答题 自招竞赛 $\odot {{C}_{1}}$，$\odot {{C}_{2}}$ 相外切，并同时内切于 $\odot {{C}_{3}}$，$\odot {{C}_{1}}$，$\odot {{C}_{2}}$ 的半径分别为4，10，且三个圆的圆心共线。 $\odot {{C}_{3}}$ 内的一条弦是的 $\odot {{C}_{1}}$，公切线，设这条弦长为 $\frac{m\sqrt{n}}{p}$，其中 $m$，$n$，$p$ 是正整数，$m$ 与 $n$ 互素，$n$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $m+n+p$ 。 2022-04-17 20:01:03
20779 5c74eaaf210b284290fc23f8 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$ 分别表示圆 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+10x-24y-87=0$ 和圆 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-24y+153=0$，直线 $y=ax$ 经过某个内切于 ${{\omega }_{1}}$ 同时外切于 ${{\omega }_{2}}$ 的圆的圆心，设 $m$ 为 $a$ 的所有取值中最小正数，令 ${{m}^{2}}=\frac{p}{q}$，其中 $p$，$q$ 是互素的正整数，试求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:56:02
20764 5c75f0a3210b28428f14ccb5 高中 解答题 自招竞赛 凸六边形 $ABCDEF$ 所有边的长度都相等，$\angle A$ 和 $\angle D$ 是直角，其余各角都相等。若六边形的面积是 $2116\left( \sqrt{2}+1 \right)$，求边 $AB$ 的长。 2022-04-17 20:47:02
20756 5c75f0fa210b28428f14ccd5 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{1}} {{C}_{2}} {{C}_{3}}$ 的圆心分别为 $\left( 0 ,0 \right) \left( 12 ,0 \right) \left( 24, 0 \right)$，它们的半径分别为 $1 ,2, 4$ 。直线 ${{t}_{1}}$ 是圆 ${{C}_{1}}$ 和 ${{C}_{2}}$ 的斜率为正的内公切线，直线 ${{t}_{2}}$ 是圆 ${{C}_{2}}$ 和 ${{C}_{3}}$ 的斜率为负的内公切线，设直线 ${{t}_{1}}$ 和 ${{t}_{2}}$ 交于点 $\left( x,y \right)$，且 $x=q-p\sqrt{r}$，其中 $p ,q ,r$ 为正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:43:02
20747 5c75f9ab210b28428f14cd04 高中 解答题 自招竞赛 三颗行星围绕着同一颗恒星公转，它们的轨迹在同一平面上，且都是圆心在此恒星上的圆周，它们公转的方向相同，公转的周期分别为 $60$，$84$ 和 $140$ 年，现在这三颗行星和这颗恒星在同一条直线上，它们下一次共线是在 $n$ 年之后，求 $n$ 。 2022-04-17 20:39:02
20743 5c75f9e7210b28428f14cd1b 高中 解答题 自招竞赛 在直角三角形从 $ABC$ 中，$\angle C$ 是直角，$CA=30$，$CB=16$ 。三角形外两点 ${{O}_{1}}$，${{O}_{2}}$ 分别是两个相切的等圆的圆心。以 ${{O}_{1}}$ 为圆心的圆与三角形斜边及直角边 $CA$ 的延长线（越过 $A$ 的方向）相切，以 ${{O}_{2}}$ 为圆心的圆与三角形斜边及直角 $CB$ 的延长线（越过 $B$ 的方向）相切，这两个圆的半径可以表示为 $\frac{p}{q}$，其中 $p$，$q$ 是互素的正整数，求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:37:02
20722 5c761a6e210b28428f14cd8b 高中 解答题 自招竞赛 圆锥的底面圆半径为 $R$，高为 $h$．把此圆锥的侧面平放于桌面，并使它沿着桌面无滑动地滚动．当圆锥再次回到起点位置时正好滚动17周，这时圆锥的底面边沿在桌面上划过一个以圆锥顶点为圆心的圆．比值 $\frac{h}{r}$ 能写成 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数且 $n$ 不能被任何质量的平方整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:25:02
20680 5c7742b0210b28428f14ce6b 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$、$B$ 是半径为2的半圆弧的两端点．该半圆被六个点 ${{C}_{1}}$，${{C}_{2}}$，…，${{C}_{6}}$ 等分成七段，连接所有的弦 $A{{C}_{i}}$ 和 $B{{C}_{i}}$．设 $n$ 是这12条弦长度的乘积，求 $n$ 除以1000的余数． 2022-04-17 20:01:02
20581 5c908757210b286d125ef3fb 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta PQR$ 中，$\angle P\text{=}{{75}^{{}^\circ }}\text{,}\angle Q\text{=}{{60}^{{}^\circ }}$ 。边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 在 $\Delta PQR$ 内，其中 $AB$ 在 $PQ$ 上，$CD$ 在 $QR$ 上，且剩下的某一个顶点在 $RP$ 上。 $\Delta PQR$ 的面积可表示为 $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 为正整数，$a\text{,}d$ 互质且 $c$ 不含平方因子。求 $a+b+c+d$ 2022-04-17 20:08:01
20570 5c91ccfe210b286d07454273 高中 解答题 自招竞赛 $\odot O$ 半径为 $\sqrt{13}$，点 $A$ 与 $O$ 距离为 $4+\sqrt{13}$ 。 $B$ 为圆周上离 $A$ 最近的点。过 $A$ 的直线交圆于 $K,L$ 。 $\Delta BKL$ 面积的最大值可以表示为 $\frac{a-b\sqrt{c}}{d}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 为正整数，$a\text{,}d$ 互质，$c$ 没有平方因子。求 $a+b+c+d$ 2022-04-17 20:02:01
20562 5c9308bb210b286d125ef4b7 高中 解答题 自招竞赛 Jon和Steve在两条相邻的东西向的火车轨道之间骑车，其骑行路线与轨道平行。Jon以每小时 $20$ 英里的速度向东骑，Steve以每小时 $20$ 英里的速度向西骑。两长度相同的火车以不同的速度匀速向相反方向前行，每个火车经过Jon所用时间相同。向西开的火车经过Steve所用时间为向东开的火车的 $10$ 倍。两火车长度均为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:56:00
20525 5c94932a210b286d125ef5ee 高中 解答题 自招竞赛 圆 $P$ 和圆 $Q$ 半径分别为 $1,4$，并且两圆外切于点 $A$ 。点 $B$ 在圆 $P$ 上，点 $C$ 在圆 $Q$ 上，使得 $BC$ 为两圆的外公切线段。过 $A$ 的直线 $l$ 交圆 $P$ 于另一点 $D$ 并且交圆 $Q$ 于另一点 $E$ 。 $B,C$ 在该直线同侧，并且 $\Delta DBA$ 和 $\Delta ACE$ 面积相等。两三角形的面积为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:36:00
20458 5c987bbe210b280b2397e896 高中 解答题 自招竞赛 青蛙Freddy在直角坐标平面内寻找位置对应直线 $y\text{=}24$ 的河流。一围栏位于 $y\text{=}0$ 。每跳一步，Freddy都可以选择沿平行于坐标轴的方向前进一个单位长度。当他位于 $x$ 轴时，他等可能的从三个方向中选择一个前进，即沿围栏向左，沿围栏向右，或者沿垂直远离围栏的方向，而他不能跨越围栏跳至坐标满足 $y\text{}0$ 的位置。Freddy从点 $\left( 0\text{,}21 \right)$ 出发搜索直至到达河流上一点。求Freddy到达河流所跳步数的期望值 2022-04-17 19:59:59
20428 5c99ef6c210b280b2256c011 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{0}}$ 半径为 $1$，${{A}_{0}}$ 是圆 ${{C}_{0}}$ 上一点。圆 ${{C}_{1}}$ 半径为 $r\left( r\text{}1 \right)$ 且与圆 ${{C}_{0}}$ 内切于 ${{A}_{0}}$ 。 ${{A}_{1}}$ 在圆 ${{C}_{1}}$ 上且为 ${{A}_{0}}$ 绕 ${{C}_{1}}$ 逆时针转 ${{90}^{{}^\circ }}$ 的对应点。圆 ${{C}_{2}}$ 半径为 ${{r}^{2}}$ 且与圆 ${{C}_{1}}$ 内切于 ${{A}_{1}}$ 。依此类推，得到一系列圆 ${{C}_{1}}\text{,}{{C}_{2}}\text{,}{{C}_{3}}\text{,}\cdots $ 和一系列对应圆周上的点 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\cdots $，其中圆 ${{C}_{n}}$ 半径为 ${{r}^{n}}$，与圆 ${{C}_{n-1}}$ 内切于 ${{A}_{n-1}}$，${{A}_{n}}$ 在圆 ${{C}_{n}}$ 上且为 ${{A}_{n-1}}$ 绕 ${{C}_{n-1}}$ 逆时针转 ${{90}^{{}^\circ }}$ 的对应点（如下图所示）。存在在上述所有圆内的点 $B$ 。当 $r\text{=}\frac{11}{60}$，${{C}_{0}}$ 与 $B$ 之间的距离为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:42:59
20392 5c9d80f6210b280b2397eb42 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $A$，$B$，$C$，$D$ 和 $E$ 均匀排列在圆的劣弧上。点 $E$，$F$，$G$，$H$，$I$ 和 $A$ 均匀排列在另一以 $C$ 为圆心的劣弧上。 $\angle ABD - \angle AHG = 12^\circ $ 。求 $\angle BAG$ 的角度。 2022-04-17 19:23:59
20385 5c9d810b210b280b2397eb69 高中 解答题 自招竞赛 对每个整数 $n \geqslant 2$，$A(n)$ 为坐标平面内 $1 \leqslant x \leqslant n$ 和 $0 \leqslant y \leqslant x\left\lfloor {\sqrt x } \right\rfloor $ 围成的区域的面积，其中 $\left\lfloor {\sqrt x } \right\rfloor $ 是不超过 ${\sqrt x }$ 的最大整数。求使得 $A(n)$ 是整数的 $n$ 的个数，其中 $2 \leqslant n \leqslant 1000$ 2022-04-17 19:19:59
20038 5cb6d588210b28021fc75767 高中 解答题 自招竞赛 如图，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$、$B$ 两点．当直线 $AB$ 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 $60^{\circ}$． 2022-04-17 19:01:56
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