在平面直角坐标平系中，$\vartriangle ABC$ 的面积为70，顶点 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $\left( p, q \right)$，$\left( 12, 19 \right)$ 和 $\left( \text{23} ,\text{2}0 \right)$，$BC$ 边上中线所在的直线斜率为 $-5$，求 $p+q$ 的最大值。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
47
【解析】
$BC$ 中点的坐标为 $\left(\frac{12+23}{2} ,\frac{19+20}{2} \right)$，即 $\left( 17.5, 19.5\right)$，由于点 $A$ 的坐标为 $\left( p ,q\right)$，故由题意可得 $\frac{q-19.5}{p-17.5}=-5$，即 $q=107-5p$ 。因此 $A$ 的坐标也可表示为 $\left(p ,107-5p \right)$ 。
根据 $\text{Shoelace}$ 公式，$\vartriangle ABC$ 的面积为
$\frac{\left|\left( 23\cdot 19+12\cdot \left( 107-5p \right)+p\cdot 20 \right)-\left(20\cdot 12+p\cdot 19+\left( 107-5p \right)\cdot 23 \right) \right|}{{}}$
$=\frac{\left|56p-980 \right|}{2}=\left| 28p-490 \right|$ 。
由题意得 $\left| 28p-490 \right|=70$，故 $p=20$ 或 $p=15$ 。故 $p+q=107-4p$ 当 $p=15$ 时取得最大值47。
根据 $\text{Shoelace}$ 公式，$\vartriangle ABC$ 的面积为
$\frac{\left|\left( 23\cdot 19+12\cdot \left( 107-5p \right)+p\cdot 20 \right)-\left(20\cdot 12+p\cdot 19+\left( 107-5p \right)\cdot 23 \right) \right|}{{}}$
$=\frac{\left|56p-980 \right|}{2}=\left| 28p-490 \right|$ 。
由题意得 $\left| 28p-490 \right|=70$，故 $p=20$ 或 $p=15$ 。故 $p+q=107-4p$ 当 $p=15$ 时取得最大值47。
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备注
