$\odot O$ 半径为 $\sqrt{13}$，点 $A$ 与 $O$ 距离为 $4+\sqrt{13}$ 。 $B$ 为圆周上离 $A$ 最近的点。过 $A$ 的直线交圆于 $K,L$ 。 $\Delta BKL$ 面积的最大值可以表示为 $\frac{a-b\sqrt{c}}{d}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 为正整数，$a\text{,}d$ 互质，$c$ 没有平方因子。求 $a+b+c+d$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
146
【解析】
我们将以 $O\left(0\text{,}0 \right)\text{,}B\left( \sqrt{13}\text{,}0 \right)A\left(4+\sqrt{13}\text{,}0 \right)$ 建立平面直角坐标系。则圆的方程为 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\text{=}13$，设直线 $AKL$ 的斜率为 $k$，则该直线方程为 $y\text{=}k\left(x-4-\sqrt{13} \right)$ 。联立得 $\left( {{k}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-2{{k}^{2}}\left(4+\sqrt{13} \right)x+{{k}^{2}}\cdot {{\left( 4+\sqrt{13}\right)}^{2}}-13\text{=}0$ 。由韦达定理，$\left\{ \begin{matrix}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}\text{=}\frac{2{{k}^{2}}\left( 4+\sqrt{13}\right)}{{{k}^{2}}+1} \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}\text{=}\frac{{{\left(4+\sqrt{13} \right)}^{2}}\cdot {{k}^{2}}-13}{{{k}^{2}}+1} \\
\end{matrix}\right.$，所以 $LK\text{=}\sqrt{1+{{k}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\left({{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$，$B$ 到 $LK$ 距离为 $\frac{\sqrt{13}\cdot k-\left( 4+\sqrt{13} \right)\cdot k}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}\text{=}\frac{-4k}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}$ 。故面积 $S\text{=}0.5ah\text{=}\frac{-4k\sqrt{\left(16-8\sqrt{13} \right){{k}^{2}}-13}}{{{k}^{2}}+1}$ 。所以面积最大值为 $\frac{104-26\sqrt{13}}{3}$，所求值为 $104+26+13+3\text{=}146$
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}\text{=}\frac{2{{k}^{2}}\left( 4+\sqrt{13}\right)}{{{k}^{2}}+1} \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}\text{=}\frac{{{\left(4+\sqrt{13} \right)}^{2}}\cdot {{k}^{2}}-13}{{{k}^{2}}+1} \\
\end{matrix}\right.$，所以 $LK\text{=}\sqrt{1+{{k}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\left({{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$，$B$ 到 $LK$ 距离为 $\frac{\sqrt{13}\cdot k-\left( 4+\sqrt{13} \right)\cdot k}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}\text{=}\frac{-4k}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}$ 。故面积 $S\text{=}0.5ah\text{=}\frac{-4k\sqrt{\left(16-8\sqrt{13} \right){{k}^{2}}-13}}{{{k}^{2}}+1}$ 。所以面积最大值为 $\frac{104-26\sqrt{13}}{3}$，所求值为 $104+26+13+3\text{=}146$
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解析
备注
