Jon和Steve在两条相邻的东西向的火车轨道之间骑车，其骑行路线与轨道平行。Jon以每小时 $20$ 英里的速度向东骑，Steve以每小时 $20$ 英里的速度向西骑。两长度相同的火车以不同的速度匀速向相反方向前行，每个火车经过Jon所用时间相同。向西开的火车经过Steve所用时间为向东开的火车的 $10$ 倍。两火车长度均为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
049
【解析】
以下长度单位为英里，时间单位为分钟。骑手的速度为 $\frac{1}{3}mile/\min$ 。设 $d$ 为火车的长度，较快的火车速度为 ${{r}_{1}}$，较慢的火车速度为 ${{r}_{2}}$ 。根据火车经过Jon的时间，$\frac{d}{{{r}_{1}}-\frac{1}{3}}\text{=}\frac{d}{{{r}_{2}}+\frac{1}{3}}\Rightarrow{{r}_{1}}\text{=}{{r}_{2}}+\frac{2}{3}$ 。根据火车经过Steve的时间，$\frac{d}{{{r}_{2}}-\frac{1}{3}}\text{=10}\frac{d}{{{r}_{1}}+\frac{1}{3}}\Rightarrow{{r}_{1}}\text{=10}{{r}_{2}}-\frac{11}{3}$ 。联立两式解得 ${{r}_{2}}\text{=}\frac{13}{27}$ 。再由慢车经过Jon需要 $1$ 分钟，$1\text{=}\frac{d}{{{r}_{2}}+\frac{1}{3}}$，则 $d\text{=}\frac{22}{27}$ 。故所求值为 $27+22\text{=}049$
答案
解析
备注
