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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25296 59127c5ae020e7000a798b21 高中 解答题 自招竞赛 直线 $l$ 与双曲线 $xy = 1$ 交于 $P$ 和 $Q$ 两点，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于 $A$，与 $y$ 轴交于 $B$，求证：$\left| {AP} \right| = \left| {BQ} \right|$． 2022-04-17 20:32:44
25294 59128472e020e7000a798b5c 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left\{ {{A_n}\left( {{a_n} ,{b_n}} \right)} \right\}$ 为平面上的点列，其中数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$，$\left\{ {{b_n}} \right\}$ 满足
${a_{n + 1}} = 2 + \dfrac{{3{a_n}}}{{{a_n}^2 + {b_n}^2}}$，${b_{n + 1}} = - \dfrac{{3{b_n}}}{{{a_n}^2 + {b_n}^2}}$．
已知 ${A_1}$ 的坐标为 $\left( {1, 2} \right)$．		 2022-04-17 20:32:44
25292 591285b0e020e700094b0c42 高中 解答题 自招竞赛 对于抛物线 ${y^2} = 4x$ 上的两相异点 $A$、$B$，如果弦 $AB$ 不平行于 $y$ 轴且其垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$，那么称弦 $AB$ 是点 $P$ 的一条相关弦．已知点 ${P_0}\left( {{x_0}, 0} \right)$ 存在无穷多条相关弦，其中 ${x_0} > 2$． 2022-04-17 20:31:44
25214 5945e64fa26d28000a4db410 高中 解答题 高中习题 设抛物线 $C:y=x^2$ 的焦点为 $F$，动点 $P$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上运动，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$ 且与抛物线分别相切于点 $A,B$． 2022-04-17 20:46:43
25212 5952096739416c000ab6e4b0 高中 解答题 高考真题 已知椭圆 $C:9x^2+y^2=m^2(m>0)$，直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴，$l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $M$． 2022-04-17 20:44:43
25141 597e9da8d05b90000c805832 高中 解答题 高中习题 已知 $F_{1},F_{2}$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，其左准线与 $x$ 轴相交于点 $N$，并满足 $\overrightarrow{F_{1}F_{2}}=2\overrightarrow{NF_{1}}$，$\left|\overrightarrow{F_{1}F_{2}}\right|=2$．设 $A,B$ 为上半椭圆上满足 $\overrightarrow{NA}=\lambda\overrightarrow{NB}$ 的两点，其中 $\lambda\in\left[\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{3}\right]$． 2022-04-17 20:08:43
24630 599165bb2bfec200011deedc 高中 解答题 高考真题 已知抛物线 ${C_1}:{x^2} = y$，圆 ${C_2}:{x^2} + {\left(y - 4\right)^2} = 1$ 的圆心为点 $M$． 2022-04-17 20:31:38
24627 598bfad6de229f000aa425e7 高中 解答题 自招竞赛 如图，$P$ 是抛物线 $y^2=2x$ 上的动点，点 $B,C$ 在 $y$ 轴上，圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 内切于 $\triangle PBC$，求 $\triangle PBC$ 面积的最小值． 2022-04-17 20:30:38
24587 590c2c5f857b4200092b0694 高中 解答题 高考真题 已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1:x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的两点 $A,B$． 2022-04-17 20:07:38
24583 59117cafe020e7000878f65b 高中 解答题 高考真题 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-c,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}3$，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $FM$ 被圆 $x^2+y^2=\dfrac{b^2}4$ 截得的线段的长为 $c$，$|FM|=\dfrac{4\sqrt 3}3$． 2022-04-17 20:04:38
24580 5912615de020e70007fbeb8e 高中 解答题 高考真题 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$A(a,0), B(0,b), O(0,0)$，$\triangle{OAB}$ 的面积为 $1$． 2022-04-17 20:03:38
24558 59141fd91edfe20007c5098d 高中 解答题 高中习题 莱洛三角形是著名的非圆等宽曲线，它的画法如下：先画一个正三角形 $ABC$，再分别以 $A,B,C$ 为圆心，作圆弧 $BC,CA,AB$，这三段弧围成的图形就是莱洛三角形，正三角形 $ABC$ 的边长称为莱洛三角形的宽度，如图所示．现有宽度为 $1$ 的莱洛三角形嵌在一个边长为 $1$ 的正方形内部，即正方形的各边上都有莱洛三角形边缘上的点．当莱洛三角形的三个顶点沿着正方形边界行进一周的过程中，求正三角形 $ABC$ 的中心 $M$ 的轨迹方程． 2022-04-17 20:51:37
24555 5914233c1edfe2000ade98ab 高中 解答题 高中习题 如图，已知 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，$CD,EF$ 相交于 $M$，又 $CF,ED$ 分别交 $AB$ 于 $P,Q$．求证：$\left|PM\right|=\left|QM\right|$． 2022-04-17 20:49:37
24552 59150cf81edfe200082e9ab7 高中 解答题 高中习题 如图，已知 $P$ 为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 上不同于长轴端点的动点，
$A,B$ 分别为椭圆 $E$ 的左、右顶点，$F$ 为椭圆的右焦点，$l$ 为椭圆的右准线．过点 $O$ 作射线 $OM \parallel PA$，交 $l$ 于点 $M$；作射线 $ON \parallel PB$，交 $l$ 于点 $N$．
射线 $OM,ON$ 与椭圆的交点分别为 $C,D$．		 2022-04-17 20:47:37
24518 59361cbbc2b4e70007c9402d 高中 解答题 高中习题 求抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的内接等腰直角三角形面积的最小值． 2022-04-17 20:26:37
24500 595b19b0866eeb000914b559 高中 解答题 高考真题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点．直线 $l:y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$． 2022-04-17 20:15:37
24352 59127803e020e7000a798ae0 高中 解答题 自招竞赛 设 $A,B,C,D$ 为抛物线 ${x^2} = 4y$ 上不同的四点，$A,D$ 关于该抛物线的对称轴对称，$BC$ 平行于该抛物线在点 $D$ 处的切线 $l$．设 $D$ 到直线 $AB$，直线 $AC$ 的距离分别为 ${d_1},{d_2}$，已知 ${d_1} + {d_2} = \sqrt 2 \left| {AD} \right|$． 2022-04-17 20:55:35
24351 59127819e020e7000878f83f 高中 解答题 高考真题 如图，设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$． 2022-04-17 20:55:35
24348 591284ffe020e700094b0c36 高中 解答题 自招竞赛 已知点 $P\left( {0, - \dfrac{3}{2}} \right)$，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $M$ 在直线 $AB$ 上，且满足 $\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$，$\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} $． 2022-04-17 20:53:35
24345 59128aa4e020e7000a798bab 高中 解答题 自招竞赛 顶点在原点，焦点在 $y$ 轴上的抛物线，其内接 $\triangle ABC$ 的重心为抛物线焦点，若直线 $BC$ 方程为 $x - 4y - 20 = 0$． 2022-04-17 20:52:35
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