求抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的内接等腰直角三角形面积的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4p^2$
【解析】
设抛物线的内接等腰直角三角形为 $\triangle ABC$，直角顶点为 $A(2pt^2,2pt)$，平移坐标系，使得原点为 $A$，如图．
抛物线方程变为$$(y+2pt)^2=2p(x+2pt^2), \text{即} y^2+4pty-2px=0.$$此时，可设 $B(r\cos\theta,r\sin\theta)$，$C(-r\sin\theta,r\cos\theta)$，则$$r^2\sin^2\theta+4pt\cdot r\sin\theta-2p\cdot r\cos\theta=0,\\r^2\cos^2\theta+4pt\cdot r\cos\theta+2p\cdot r\sin\theta=0.$$于是$$4t=\dfrac{2p\cos\theta-r\sin^2\theta}{p\sin\theta}=\dfrac{2p\sin\theta+r\cos^2\theta}{-p\cos\theta},$$从而解得$$r=\dfrac{2p}{\sin\theta\cdot\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)}.$$其中，令 $s=\sin\theta\cdot\cos\theta$，则由于 $\theta\in\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)$，于是 $s\in\left[-\dfrac 12,0\right)$．此时$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12r^2=\dfrac{2p^2}{s^2(1-2s)},$$于是当 $s=-\dfrac 12$，即 $\theta=-\dfrac{\pi}4$ 时，$\triangle ABC$ 的面积取得最小值为 $4p^2$．
抛物线方程变为$$(y+2pt)^2=2p(x+2pt^2), \text{即} y^2+4pty-2px=0.$$此时，可设 $B(r\cos\theta,r\sin\theta)$，$C(-r\sin\theta,r\cos\theta)$，则$$r^2\sin^2\theta+4pt\cdot r\sin\theta-2p\cdot r\cos\theta=0,\\r^2\cos^2\theta+4pt\cdot r\cos\theta+2p\cdot r\sin\theta=0.$$于是$$4t=\dfrac{2p\cos\theta-r\sin^2\theta}{p\sin\theta}=\dfrac{2p\sin\theta+r\cos^2\theta}{-p\cos\theta},$$从而解得$$r=\dfrac{2p}{\sin\theta\cdot\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)}.$$其中，令 $s=\sin\theta\cdot\cos\theta$，则由于 $\theta\in\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)$，于是 $s\in\left[-\dfrac 12,0\right)$．此时$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12r^2=\dfrac{2p^2}{s^2(1-2s)},$$于是当 $s=-\dfrac 12$，即 $\theta=-\dfrac{\pi}4$ 时，$\triangle ABC$ 的面积取得最小值为 $4p^2$．
答案
解析
备注
