已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$A(a,0), B(0,b), O(0,0)$，$\triangle{OAB}$ 的面积为 $1$．
【难度】
【出处】
2016年高考北京卷（理）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$解析根据题意画出示意图如图．
根据椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$ 可得$$a^2=4b^2,$$又 $\triangle OAB$ 的面积 $\dfrac 12ab=1$，于是可得 $a=2$，$b=1$．
因此椭圆 $C$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1.$$ -
设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$．求证：$\left|AN\right|\cdot\left|BM\right|$ 为定值．标注答案略解析设 $P$ 点坐标为 $(2\cos{\theta},\sin\theta)$，可求得 $M$ 点坐标为 $\left(0,\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right)$，$N$ 点坐标为 $\left(\dfrac{2\cos\theta}{1-\sin\theta},0\right)$，故$$\begin{split} \left|AN\right|\cdot\left|BM\right|=&\left|\left(\dfrac{2\cos\theta}{1-\sin\theta}-2\right)\left(\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}-1\right)\right|\\=&2\left|\dfrac{\left(\sin\theta+\cos\theta -1\right)^2}{\left(1-\sin\theta\right)\left(1-\cos\theta\right)}\right|=4\end{split} $$为定值，因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
