题目 设 $\left\{ {{A_n}\left( {{a_n} ,{b_n}} \right)} \right\}$ 为平面上的点列，其中数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$，$\left\{ {{b_n}} \right\}$ 满足<br/>${a_{n + 1}} = 2 + \dfrac{{3{a_n}}}{{{a_n}^2 + {b_n}^2}}$，${b_{n + 1}} = - \dfrac{{3{b_n}}}{{{a_n}^2 + {b_n}^2}}$．<br/>已知 ${A_1}$ 的坐标为 $\left( {1, 2} \right)$． 问题1 确定点 ${A_1}$，${A_2}$，${A_3}$ 所在圆 $C$ 的方程； 答案1 $ {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 4 $ 解析1 因为$${A_1}\left( {1 , 2} \right),{A_2}\left( {\dfrac{{13}}{5} , - \dfrac{6}{5}} \right),{A_3}\left( {\dfrac{{121}}{{41}},\dfrac{{18}}{{41}}} \right),$$所以线段 ${A_1}{A_2}$ 的垂直平分线为$$x - 2y - 1 = 0,$$线段 ${A_1}{A_3}$ 的垂直平分线为$$5x - 4y - 5 = 0,$$交点为 $\left( {1 ,0} \right)$，所以圆的方程为$${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 4.$$ 备注1 问题2 证明：点列 $\left\{ {{A_n}} \right\}$ 在定圆 $C$ 上； 答案2 略 解析2 用数学归纳法．<br/><case>归纳基础</case>由 $(1)$ 知是显然的．<br/><case>递推证明</case>若点 ${A_n}$ 在圆 $C$ 上，则$${\left( {{a_n} - 1} \right)^2} + {b_n}^2 = 4,$$即$${a_n}^2 + {b_n}^2 = 2{a_n} + 3,$$所以\[\begin{split}{\left( {{a_{n + 1}} - 1} \right)^2} + {b_{n + 1}}^2 &= {\left( {1 + \dfrac{{3{a_n}}}{{a_n^2 + b_n^2}}} \right)^2} + {\left( { - \dfrac{{3{b_n}}}{{a_n^2 + b_n^2}}} \right)^2} \\&= \dfrac{{25a_n^2 + 30{a_n} + 9b_n^2 + 9}}{{{{\left( {2{a_n} + 3} \right)}^2}}}\\& = \dfrac{{4\left( {4a_n^2 + 12{a_n} + 9} \right)}}{{{{\left( {2{a_n} + 3} \right)}^2}}} \\&= 4.\end{split}\]因此命题成立． 备注2 问题3 求数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式． 答案3 ${a_n} = \dfrac{{3 \cdot {9^{n - 1}} - 1}}{{{9^{n - 1}} + 1}}$ 解析3 由$$a_n^2 + b_n^2 = 2{a_n} + 3,$$$${a_{n + 1}} = 2 + \dfrac{{3{a_n}}}{{2{a_n} + 3}} = \dfrac{{7{a_n} + 6}}{{2{a_n} + 3}},$$用不动点法，设辅助数列$${c_n} = \dfrac{{{a_n} - 3}}{{{a_n} + 1}},$$则有 $\dfrac{{{c_{n + 1}}}}{{{c_n}}} = \dfrac{1}{9}$，于是 ${a_n} = \dfrac{{3 \cdot {9^{n - 1}} - 1}}{{{9^{n - 1}} + 1}}$． 备注3