如图，设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$．
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（理）
【标注】
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求直线 $y=kx+1$ 被椭圆截得的弦长（用 $a,k$ 表示）；标注答案$\dfrac{2a^2|k|\cdot\sqrt{1+k^2}}{1+a^2k^2}$解析联立直线与椭圆的方程，可得$$(1+a^2k^2)x^2+2a^2kx=0,$$从而所求的弦长为$$\sqrt{1+k^2}\cdot \dfrac{2a^2|k|}{1+a^2k^2}=\dfrac{2a^2|k|\cdot\sqrt{1+k^2}}{1+a^2k^2}.$$
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若任意以点 $A(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至的公共点不超过 $3$ 个，求椭圆的离心率的取值范围．标注答案$\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$解析如图，设 $M(x,y)$ 是椭圆上一点，连接 $MA$．
由于$$\begin{split}|MA|^2&=x^2+(y-1)^2\\ &=a^2(1-y^2)+(y-1)^2\\ &=(1-a^2)y^2-2y+a^2+1.\end{split}$$考虑函数$$t=(1-a^2)y^2-2y+a^2+1 , -1\leqslant y\leqslant 1$$的图象与直线 $t=r^2$ 的公共点，其中 $a>1$，$r$ 为圆的半径．情形一 当公共点对应的 $y=\pm 1$ 时，一个公共点对应圆与椭圆的一个公共点．情形二 当公共点对应的 $y\in (-1,1)$ 时，一个公共点对应圆与椭圆的两个公共点．
根据题意，可得函数$$t=(1-a^2)y^2-2y+a^2+1,-1\leqslant y\leqslant 1$$为单调函数，否则必然存在直线 $t=r^2$ 与之有两个公共点，且其对应的 $y$ 均在区间 $(-1,1)$，考虑到其对称轴为 $y=\dfrac{1}{1-a^2}$，而 $a^2>1$，因此$$\dfrac{1}{1-a^2}\leqslant -1,$$解得$$1< a^2\leqslant 2,$$进而可得椭圆的离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
