对于抛物线 ${y^2} = 4x$ 上的两相异点 $A$、$B$，如果弦 $AB$ 不平行于 $y$ 轴且其垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$，那么称弦 $AB$ 是点 $P$ 的一条相关弦．已知点 ${P_0}\left( {{x_0}, 0} \right)$ 存在无穷多条相关弦，其中 ${x_0} > 2$．
【难度】
【出处】
2010年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
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证明：点 ${P_0}$ 的所有相关弦的中点的横坐标均相同；标注答案略解析设 $AB$ 的中点为 $M(x_M,y_M)$，用抛物线的算术平均性质，设 $AB$ 的方程为$$x = my + a,$$则 $M$ 点的纵坐标满足 ${y_M} = pm$．于是 $M$ 点的坐标为 $\left( {p{m^2} + a , pm} \right)$．因此 $AB$ 的垂直平分线方程为$$y - pm = - m\left( {x - p{m^2} - a} \right),$$其横截距为$${x_0} = p + p{m^2} + a,$$所以 $M$ 点的横坐标为 ${x_0} - p$．在此题条件 $p = 2$ 下，$M$ 点的横坐标为 ${x_0} - 2$．
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试问：点 ${P_0}$ 的所有相关弦中是否存在长度最大的弦？若存在，则求出此最大弦长（用 ${x_0}$ 表示）；若不存在，请说明理由．标注答案当 ${x_0} > 3$ 时，存在长度最大的弦，弦长为 $2\left( {{x_0} - 1} \right)$；当 $2 < {x_0} \leqslant 3$ 时，不存在长度最大的弦解析由 $(1)$ 知$$M\left( {{x_0} - 2 ,t} \right),0 < {t^2} < 4\left( {{x_0} - 2} \right) ,$$$ AB $ 的方程设为 $ x = my + a $，将 $ AB$ 与抛物线联立有$$ {y^2} - 4my - 4a = 0,$$于是得到$$\begin{cases}{x_0} - 2 = 2{m^2} + a,\\ t = 2m ,\end{cases}$$所以$$\begin{cases} m = \dfrac{t}{2},\\ a = {x_0} - 2 - \dfrac{{{t^2}}}{2}.\end{cases}$$弦长$$ \begin{split}\left| {AB} \right| &= \sqrt {1 + {m^2}} \cdot 4\sqrt {{m^2} + a}\\ &= \sqrt {\left({4 + {t^2}} \right)\left({4{x_0} - 8 - {t^2}} \right)}\\ &\leqslant 2(x_0-1),\end{split}$$当且仅当 ${t^2} = 2{x_0} - 6$ 取等号．
因此，当 ${x_0} > 3$ 时，$\left| {AB} \right|$ 存在最大值为 $2\left( {{x_0} - 1} \right)$；
当 $2 < {x_0} \leqslant 3$ 时，$\left| {AB} \right|$ 不存在最大值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
