顶点在原点，焦点在 $y$ 轴上的抛物线，其内接 $\triangle ABC$ 的重心为抛物线焦点，若直线 $BC$ 方程为 $x - 4y - 20 = 0$．
【难度】
【出处】
2008年西北工业大学自主招生测试
【标注】
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求抛物线方程；标注答案${x^2} = - 16y$解析设抛物线的方程为 ${x^2} = 2py$，将 $x - 4y - 20 = 0$ 代入，可得$${x^2} - \dfrac{p}{2}x + 10p = 0,$$设 $B\left( {{x_1}, {y_1}} \right), C\left( {{x_2}, {y_2}} \right)$，则$$\begin{split}{x_1} + {x_2} &= \dfrac{p}{2},\\{y_1} + {y_2} &= \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{4} - 10= \dfrac{p}{8} - 10,\end{split}$$由 $\triangle ABC$ 重心为 $G\left( {0, \dfrac{p}{2}} \right)$，可得$${x_A} = - \dfrac{p}{2},$$所以$${y_A} = \dfrac{{x_A^2}}{{2p}} = \dfrac{p}{8},$$再由$$\dfrac{{{y_1} + {y_2} + {y_A}}}{3} = \dfrac{p}{2},$$可解得 $p = - 8$，因此抛物线方程为 ${x^2} = - 16y$．
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设 $M$ 为抛物线上及其内部的点的集合，$N = \left\{ {\left( {x, y} \right)\mid {x^2} + {{\left( {y - a} \right)}^2} \leqslant 1} \right\}$，求使 $M \cap N = N$ 成立的充要条件．标注答案$a \leqslant - 1$解析充要条件为$$a + \sqrt {1 - {x^2}} \leqslant - \dfrac{{{x^2}}}{{16}} , - 1 \leqslant x \leqslant 1,$$即$$a \leqslant \dfrac{{{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}}}{{16}} - \sqrt {1 - {x^2}} - \dfrac{1}{{16}}= {\left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{4} - 2} \right)^2} - \dfrac{{65}}{{16}},$$恒成立．当 $x = 0$ 时，不等式右边 取最小值 $ - 1$，故充要条件为 $a \leqslant - 1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
