题目 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-c,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}3$，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $FM$ 被圆 $x^2+y^2=\dfrac{b^2}4$ 截得的线段的长为 $c$，$|FM|=\dfrac{4\sqrt 3}3$． 问题1 求直线 $FM$ 的斜率； 答案1 $\dfrac{\sqrt 3}3$ 解析1 设直线 $FM$ 的斜率为 $k$（$k>0$），则直线 $FM$ 的方程为 $y=k(x+c)$，因此原点 $O$ 到直线 $FM$ 的距离为 $\dfrac{|kc|}{\sqrt{1+k^2}}$．<br/>另一方面，由于直线 $FM$ 被圆截得的弦长为 $c$，于是圆心 $O$ 到直线 $FM$ 的距离为 $\sqrt{\dfrac{b^2}4-\dfrac{c^2}4}$．<br/>因此由方程$$\dfrac{|kc|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2}4-\dfrac{c^2}4}$$得$$\dfrac{k^2}{1+k^2}=\dfrac 14\cdot\dfrac{b^2}{c^2}-\dfrac 14,$$又由椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}3$ 可知 $\dfrac{b^2}{c^2}=2$，因此解得 $k=\dfrac{\sqrt 3}3$． 备注1 问题2 求椭圆的方程； 答案2 $\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}2=1$ 解析2 设椭圆的另一个焦点为 $F'(c,0)$，连接 $MF'$，如图．<img src="/static/images/30b94729bc8af0dc6ddb6fcc331c8d21.png" class="img-responsive" />在 $\triangle MFF'$ 中应用余弦定理得$$|MF'|^2=|MF|^2+|FF'|^2-2\cdot|MF|\cdot|FF'|\cdot\cos\angle MFF',$$将\[|MF|=\dfrac{4\sqrt 3}3, |MF'|=2\sqrt 3c-\dfrac 43\sqrt 3,<br/>|FF'|=2c, \angle MFF'=\dfrac{\pi}6,\]代入，展开整理即可解得 $c=1$．从而椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}2=1$． 备注2 问题3 设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 $FP$ 的斜率大于 $\sqrt 2$，求直线 $OP$（$O$ 为原点）的斜率的取值范围． 答案3 $\left(-\infty ,-\dfrac{2\sqrt 3}3\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt 2}3,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$ 解析3 如图，当 $FP$ 的斜率大于 $\sqrt 2$ 时，$P$ 在曲线段 $P_1P_2$ 和 $P_3P_4$ 上（不包含端点）运动，其中 $P_1,P_3$ 是过点 $F$ 且斜率为 $\sqrt 2$ 的直线与椭圆的两个交点（$P_1$ 在 $x$ 轴上方，$P_3$ 在 $x$ 轴下方），$P_2,P_4$ 是过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线与椭圆的两个交点（$P_2$ 在 $x$ 轴上方，$P_4$ 在 $x$ 轴下方）．<img src="/static/images/622689e27886bfa2b2d96261814ea7f1.png" class="img-responsive" />分别将直线 $y=\sqrt 2(x+1)$ 与直线 $x=-1$ 与椭圆方程 $\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}2=1$ 联立，可得$$P_1(0,\sqrt 2),P_2\left(-1,\dfrac{2}{\sqrt 3}\right),P_3\left(-\dfrac 32,-\dfrac{\sqrt 2}2\right),P_4\left(-1,-\dfrac{2}{\sqrt 3}\right).$$于是直线 $OP$ 斜率的取值范围是 $\left(-\infty ,k_{OP_2}\right)\cup\left(k_{OP_3},k_{OP_4}\right)$，即 $\left(-\infty ,-\dfrac{2\sqrt 3}3\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt 2}3,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$． 备注3