题目 设抛物线 $C:y=x^2$ 的焦点为 $F$，动点 $P$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上运动，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$ 且与抛物线分别相切于点 $A,B$． 问题1 求 $\triangle APB$ 的重心 $G$ 的轨迹方程； 答案1 $y=\dfrac 43x^2-\dfrac 13x+\dfrac 23$ 解析1 设 $A\left(a,a^2\right)$，$B\left(b,b^2\right)$，则$$PA:y+a^2=2ax,PB:y+b^2=2bx,$$于是 $P\left(\dfrac{a+b}2,ab\right)$．设 $G(x,y)$，则$$\begin{cases} x=\dfrac13\left(a+b+\dfrac{a+b}2\right)=\dfrac {a+b}{2},\\ y=\dfrac 13\left(a^2+b^2+ab\right),\end{cases}$$又 $P$ 点在直线 $x-y-2=0$ 上，于是$$\dfrac{a+b}2-ab-2=0,$$消去 $a+b,ab$，可得所求的轨迹方程为 $y=\dfrac 43x^2-\dfrac 13x+\dfrac 23$． 备注1 问题2 求证：$\angle PFA=\angle PFB$． 答案2 略 解析2 由 $(1)$ 知 $F\left(0,\dfrac 14\right)$，$A(a,a^2)$，$B(b,b^2)$，$P\left(\dfrac {a+b}{2},ab\right)$．所以\[\begin{split} \cos\angle PFA=&\dfrac {\overrightarrow {FA}\cdot\overrightarrow {FP}}{\left|\overrightarrow {FA}\right|\cdot\left|\overrightarrow {FP}\right|}\\=&\dfrac{1}{|PF|}\cdot\dfrac{\left(a,a^2-\dfrac 14\right)\cdot\left(\dfrac {a+b}{2},ab-\dfrac 14\right)}{a^2+\dfrac 14}\\=&\dfrac{ab+\dfrac 14}{|PF|}.\end{split}\]同理有$$\cos\angle PFB=\dfrac {ab+\dfrac 14}{|PF|}=\cos\angle PFA,$$从而命题得证． 备注2