已知 $F_{1},F_{2}$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，其左准线与 $x$ 轴相交于点 $N$，并满足 $\overrightarrow{F_{1}F_{2}}=2\overrightarrow{NF_{1}}$，$\left|\overrightarrow{F_{1}F_{2}}\right|=2$．设 $A,B$ 为上半椭圆上满足 $\overrightarrow{NA}=\lambda\overrightarrow{NB}$ 的两点，其中 $\lambda\in\left[\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{3}\right]$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求此椭圆的方程及直线 $AB$ 的斜率的取值范围；标注答案$\left[\dfrac{\sqrt 2}{6},\dfrac{1}{2}\right]$解析容易求得椭圆方程为 $\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，$N(-2,0)$．设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则由 $\overrightarrow{AN}=-\lambda\overrightarrow{NB}$，且\[\begin{cases} N\left(\dfrac{x_{1}-\lambda x_{2}}{1-\lambda},\dfrac{y_{1}-\lambda y_{2}}{1-\lambda}\right)=(-2,0),\\ \dfrac{-2}{2}\cdot\dfrac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda}=1,\end{cases} \]于是解得 $x_{1}=\dfrac{1}{2}\lambda-\dfrac{3}{2}\in\left[-\dfrac{7}{5},-\dfrac{4}{3}\right]$．
考虑过 $N$ 的椭圆切线，容易计算得切点横坐标为 $-1$．因此直线 $AB$ 的斜率的取值范围的边界由 $x_{1}=-\dfrac{7}{5}$ 和 $x_{1}=-\dfrac{4}{3}$ 确定，经计算得该范围为 $\left[\dfrac{\sqrt 2}{6},\dfrac{1}{2}\right]$． -
过 $A,B$ 两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点 $P$，求证：$P$ 在一条定直线上，并求点 $P$ 的纵坐标的取值范围．标注答案$\left[1,\dfrac{3\sqrt 2}{2}\right]$解析由 $(1)$，可得 $x_{1}-\lambda x_{2}=-2(1-\lambda),y_{1}-\lambda y_{2}$，于是 $\lambda=\dfrac{x_{1}+2}{x_{2}+2}=\dfrac{y_{1}}{y_{2}}$，从而\[x_{1}y_{2}+2y_{2}=x_{2}y_{1}+2y_{1},\]又\[\left. \begin{aligned}AP:\dfrac{x_{1}x}{2}+y_{1}y=1\\ BP:\dfrac{x_{2}x}{2}+y_{2}y=1\end{aligned}\right\}\Rightarrow P\left(\dfrac{2(y_{2}-y_{1})}{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}},\dfrac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}\right),\]从而可得点 $P$ 在定直线 $x=-1$ 上，且纵坐标为 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}$，取值范围为 $\left[1,\dfrac{3\sqrt 2}{2}\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
