直线 $l$ 与双曲线 $xy = 1$ 交于 $P$ 和 $Q$ 两点，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于 $A$，与 $y$ 轴交于 $B$，求证：$\left| {AP} \right| = \left| {BQ} \right|$．
【难度】
【出处】
2005年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
设直线 $l:\begin{cases}
x = {x_0} + at ,\\
y = {y_0} + bt,
\end{cases}$ $a,b \neq 0$，$A$ 的横坐标为 $t_A$，$B$ 的纵坐标为 $t_B$，则$${t_A} = - \dfrac{{{y_0}}}{b},{t_B} = - \dfrac{{{x_0}}}{a}.$$联立直线与双曲线，有$$\left( {{x_0} + at} \right)\left( {{y_0} + bt} \right) = 1,$$所以$$ab{t^2} + \left( {a{y_0} + b{x_0}} \right)t + {x_0}{y_0} - 1 = 0,$$所以$${t_P} + {t_Q} = - \left( {\dfrac{{{y_0}}}{b} + \dfrac{{{x_0}}}{a}} \right) = {t_A} + {t_B},$$于是$${t_P} - {t_A} = {t_B} - {t_Q},$$所以 $\left| {AP} \right| = \left| {BQ} \right|$．
x = {x_0} + at ,\\
y = {y_0} + bt,
\end{cases}$ $a,b \neq 0$，$A$ 的横坐标为 $t_A$，$B$ 的纵坐标为 $t_B$，则$${t_A} = - \dfrac{{{y_0}}}{b},{t_B} = - \dfrac{{{x_0}}}{a}.$$联立直线与双曲线，有$$\left( {{x_0} + at} \right)\left( {{y_0} + bt} \right) = 1,$$所以$$ab{t^2} + \left( {a{y_0} + b{x_0}} \right)t + {x_0}{y_0} - 1 = 0,$$所以$${t_P} + {t_Q} = - \left( {\dfrac{{{y_0}}}{b} + \dfrac{{{x_0}}}{a}} \right) = {t_A} + {t_B},$$于是$${t_P} - {t_A} = {t_B} - {t_Q},$$所以 $\left| {AP} \right| = \left| {BQ} \right|$．
答案
解析
备注
