如图，已知 $P$ 为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 上不同于长轴端点的动点，
$A,B$ 分别为椭圆 $E$ 的左、右顶点，$F$ 为椭圆的右焦点，$l$ 为椭圆的右准线．过点 $O$ 作射线 $OM \parallel PA$，交 $l$ 于点 $M$；作射线 $ON \parallel PB$，交 $l$ 于点 $N$．
射线 $OM,ON$ 与椭圆的交点分别为 $C,D$．
$A,B$ 分别为椭圆 $E$ 的左、右顶点，$F$ 为椭圆的右焦点，$l$ 为椭圆的右准线．过点 $O$ 作射线 $OM \parallel PA$，交 $l$ 于点 $M$；作射线 $ON \parallel PB$，交 $l$ 于点 $N$．
射线 $OM,ON$ 与椭圆的交点分别为 $C,D$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$\angle OMF=\angle ONF$；标注答案略解析设 $M\left(\dfrac{a^2}c,m\right)$，$N\left(\dfrac{a^2}c,n\right)$，则射线 $OM$ 与射线 $ON$ 的斜率之积为定值 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，从而可得\[mn=-\dfrac{a^2b^2}{c^2},\]因此可得 $FM\perp ON$ 且 $FN\perp OM$，因此 $\angle OMF$ 与 $\angle ONF$ 均为 $\angle MON$ 的余角，命题得证．
-
求证：$\triangle OCD$ 的面积为定值．标注答案$\dfrac 12ab$解析设 $C(a\cos\alpha,b\sin\alpha)$，$D(a\cos\beta,b\sin\beta)$，则射线 $OC$ 与射线 $OD$ 的斜率之积为定值 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，从而可得\[\cos(\alpha-\beta)=0,\]因此 $\triangle OCD$ 的面积\[S=\dfrac 12ab\left|\sin(\alpha-\beta)\right|=\dfrac 12ab\]为定值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
