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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
22225 596047d33cafba000ac43c78 高中 解答题 自招竞赛 求证：当 $p,q$ 都为奇数时，若方程 $x^2-2px+2q=0$ 有实数根，则该方程的根必为无理数． 2022-04-17 20:16:16
22224 591424451edfe2000ade98b4 高中 解答题 高中习题 $150$ 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 $1,2,3,\cdots,150$．将编号为 $3$ 的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为 $5$ 的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏？ 2022-04-17 20:16:16
22178 5a122c39aaa1af00079cab7d 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a\in \mathbb N^\ast$，函数 $y=3x+\sqrt{15-2ax}$ 的最大值为 $M$ 且 $M\in \mathbb N^\ast$．求 $M$ 的最大值及对应的 $a$ 值与 $x$ 值． 2022-04-17 20:47:15
22175 5a1fb271feda7400083f72c0 高中 解答题 自招竞赛 将同时满足下列条件的正整数从小到大排列，组成数列 $\{a_n\}$．
① 能表示成 $2007$ 个相邻正整数的和；
② 能被 $5$ 整除，也能被 $7$ 整除．
求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．		 2022-04-17 20:45:15
21825 595c51ab866eeb000bce0e3c 高中 解答题 高中习题 已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $\forall n\in\mathbb N^{\ast}$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，且 $a_k=2017$，求 $k$ 的最大值． 2022-04-17 20:35:12
21771 591129a6e020e70007fbe9e3 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且对任意的 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $(S_{m+n}+S_1)^2=4a_{2m}a_{2n}$． 2022-04-17 20:04:12
21473 597822aefcb236000b022bf5 高中 解答题 自招竞赛 设 $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$，求使 $P$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值． 2022-04-17 20:21:09
21442 5a71da639bb0f20009089f5a 高中 解答题 高中习题 已知 $a , b , c$ 都是有理数，$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $ 也是有理数，证明：$\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数． 2022-04-17 20:04:09
21424 5a71dafb9bb0f20009089f5f 高中 解答题 高中习题 已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：$\sqrt 1+\sqrt 2+\sqrt 3+\cdots +\sqrt n$ 是无理数． 2022-04-17 20:51:08
21339 59278c6774a309000813f675 高中 解答题 高考真题 若 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}$ 为集合 $A = \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\}$（$n \geqslant 2$ 且 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$）的子集，且满足两个条件：① ${A_1} \cup {A_2} \cup \cdots \cup {A_m} = A$；② 对任意的 $\left\{ {x,y} \right\} \subseteq A$，至少存在一个 $i \in \left\{ {1,2,3, \cdots ,m} \right\}$，使 ${A_i} \cap \left\{ {x,y} \right\} = \left\{ x \right\}$ 或 $\left\{ y \right\}$，则称集合组 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 20:05:08
21335 59687a6022d140000ac07ede 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $P$ 是由不超过 $2012$ 的正整数组成的集合，即 $P=\{1,2,3,\cdots,2012\}$．集合 $A$ 是集合 $P$ 的子集，符号 $|A|$ 表示集合 $A$ 中元素的个数，$S(A)$ 表示集合 $A$ 中所有元素的和． 2022-04-17 20:03:08
21144 5c78f1f9210b28428f14cfb5 高中 解答题 自招竞赛 设 $N$ 是具有如下性质的最大正整数：从左到右读 $N$ 时，每相邻的两个数字组成的两位数均为一完全平方数．求 $N$ 的最左边的三个数字． 2022-04-17 20:19:06
21129 5c6a2216210b281db9f4c6ef 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，一个圆的两弦相交，其中 $B$ 在 $\overset\frown{AD}$ 小弧上，设圆半径是5，$BC=6$，$AD$ 被 $BC$ 等分．又设从 $A$ 出发的弦只有 $AD$ 能被 $BC$ 等分，这样可以知道 $AB$ 小弧对应的圆心角的正弦是一个有理数．如果把这个有理数化成既约分数 $\frac{m}{n}$，求 $mn$． 2022-04-17 20:09:06
21128 5c6a3e9d210b281dbaa93335 高中 解答题 自招竞赛 $n$ 是具有下述性质的最小整数：它是15的倍数，而且每一位数字都是0或8，求 $\frac{n}{15}$． 2022-04-17 20:09:06
21117 5c6a44db210b281dbaa93376 高中 解答题 自招竞赛 在某一个圆中长度为2，3，4的平行弦分别对应于圆心角 $\alpha $，$\beta $，$\alpha +\beta $，其中 $\alpha +\beta <\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．如果把 $\cos \alpha $（这是一个正有理数）化成既约（最简）分数，问分子和分母之和是多少？ 2022-04-17 20:02:06
21109 5c6a4e6e210b281dbaa933be 高中 解答题 自招竞赛 把1000000的每一个真因数取以10为底的对数，把这些对数值加起来，得到和 $S$，求离 $S$ 最近的整数（自然数 $n$ 的真因数是指 $n$ 的不等于1也不等于 $n$ 的因数）． 2022-04-17 20:58:05
21103 5c6a533f210b281db9f4c79a 高中 解答题 自招竞赛 一个大于1的自然数，如果它恰好等于其不同真因子（除1及其本身的因子）的积，那么称它为“好的”．求前10个“好的”自然数的和． 2022-04-17 20:55:05
21100 5c6a5354210b281dbaa933f6 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left[ r ,s \right]$ 表示正整数 $r$ 和 $s$ 的最小公倍数，求有序三元正整数组 $\left( a, b, c \right)$ 的个数，其中 $\left[ a ,b \right]=1000$，$\left[ b, c \right]=2000$，$\left[ c, a \right]=2000$． 2022-04-17 20:54:05
21094 5c6a5eb6210b281db9f4c7c8 高中 解答题 自招竞赛 对任意的正整数 $k$，令 ${{f}_{1}}\left( k \right)$ 为 $k$ 的各位数字的和的平方．对于 $n\geqslant 2$，令 ${{f}_{n}}\left( k \right)={{f}_{1}}\left( {{f}_{n-1}}\left( k \right) \right)$，求 ${{f}_{1988}}\left( 11 \right)$． 2022-04-17 20:50:05
21091 5c6a5ec5210b281db9f4c7d4 高中 解答题 自招竞赛 若任意从 ${{10}^{99}}$ 的正约数中选取一个，它正好也是 ${{10}^{88}}$ 的倍数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 互素，求 $m+n$． 2022-04-17 20:47:05
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