将同时满足下列条件的正整数从小到大排列，组成数列 $\{a_n\}$．
① 能表示成 $2007$ 个相邻正整数的和；
② 能被 $5$ 整除，也能被 $7$ 整除．
求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
① 能表示成 $2007$ 个相邻正整数的和；
② 能被 $5$ 整除，也能被 $7$ 整除．
求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$a_n=2007\cdot(35n+980),n\in \mathbb N^{\ast}$
【解析】
设 $2007$ 个相邻的正整数为$$m,m+1,m+2,\cdots ,m+2006,$$其中 $m\in \mathbb N^{\ast}$，则$$a_n=\dfrac{2007(2m+2006)}{2}=2007(m+1003).$$因为 $a_n$ 既能被 $5$ 整除又能被 $7$ 整除，所以 $a_n$ 能被 $35$ 整除，而 $2007$ 即不能被 $5$ 整除也不能被 $7$ 整除，所以 $m+1003$ 能被 $35$ 整除，即$$m+1003=35t,t\in \mathbb N^{\ast}.$$因为 $m\in \mathbb N^{\ast}$，所以$$t>28,t\in\mathbb N^{\ast}.$$所以$$a_n=2007\cdot 35(n+28)=2007(35n+980),n\in\mathbb N^{\ast}.$$
答案
解析
备注
